新高考数学一轮复习学案第5章第3讲 第2课时 简单的三角恒等变换（含解析）

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考点一 三角函数式的化简(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
化简：(1)sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝________．
【解析】 (1)sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin α,cs α)·\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))
＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2))·eq \f(cs αcs \f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs \f(α,2))
＝eq \f(2cs α,sin α)·eq \f(cs \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝eq \f(2,sin α).
【答案】 (1)sin(α＋γ) (2)eq \f(2,sin α)
eq \a\vs4\al()
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1．(2020·长沙模拟)化简：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝________．
解析：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝eq \f(2sin α＋2sin αcs α,\f(1,2)（1＋cs α）)＝
eq \f(4sin α（1＋cs α）,1＋cs α)＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))).
解：原式＝eq \f(－2sin2xcs2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\f(1,2)（1－sin22x）,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(\f(1,2)cs22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))
＝eq \f(1,2)cs 2x.
考点二 三角函数式的求值(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类．
角度一 给角求值
计算eq \f(2cs 10°－2\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝________．
【解析】 eq \f(2cs 10°－2\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))
＝eq \f(2cs 10°＋2\r(3)sin 10°,\r(1－sin 10°))
＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°＋\f(\r(3),2)sin 10°)),\r(1－2sin 5°cs 5°))＝eq \f(4cs 50°,cs 5°－sin 5°)
＝eq \f(4cs 50°,\r(2)cs 50°)＝2eq \r(2).
【答案】 2eq \r(2)
eq \a\vs4\al()
给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．
[基本思路] 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：

角度二 给值求值
已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解】 (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2 α＋cs2 α＝1，所以cs2 α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2 α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
eq \a\vs4\al()
给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
角度三 给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq \f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq \f(3\r(3),14)，则2α－β的值为________．
【解析】 法一：由已知可知cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14).
又α，β为锐角，所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14).
因此cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7)，sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cs 2α＞0，所以0＜2α＜eq \f(π,2)，
又β为锐角，所以－eq \f(π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2)，
又sin(2α－β)＝eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq \f(π,3).
法二：同法一得，cs β＝eq \f(13,14)，sin α＝eq \f(\r(21),7).
因为α，β为锐角，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
所以sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(\r(21),7)×eq \f(13,14)－eq \f(2\r(7),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(21),14).
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故cs(α－β)＝eq \r(1－sin2（α－β）)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),14)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(7),14).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]＝cs αcs(α－β)－sin α·sin(α－β)＝eq \f(2\r(7),7)×eq \f(5\r(7),14)－eq \f(\r(21),7)×eq \f(\r(21),14)＝eq \f(1,2).
所以2α－β＝eq \f(π,3).
【答案】 eq \f(π,3)
eq \a\vs4\al()
(1)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值．
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
(2)在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦函数皆可；
③已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，π)，选余弦函数；
④已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数．
1．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,7)，且α为第二象限角，若β＝eq \f(π,8)，则sin(α－2β)cs 2β－cs(α－2β)sin 2β＝( )
A．－eq \f(3,5) B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)
解析：选D．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1,7)，所以tan α＝－eq \f(3,4)，又α为第二象限角，所以cs α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α－2β)·cs 2β－cs(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－cs α＝eq \f(4,5)，故选D．
2.eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°（4cs212°－2）)＝________．
解析：原式＝eq \f(\r(3)×\f(sin 12°,cs 12°)－3,sin 12°（4cs212°－2）)
＝eq \f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,2sin 12°cs 12°（2cs2 12°－1）)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),sin 24°cs 24°)
＝eq \f(2\r(3)sin（12°－60°）,\f(1,2)sin 48°)＝－4eq \r(3).
答案：－4eq \r(3)
3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则cs(α＋β)＝________，α＋β＝________．
解析：因为α，β为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又0＜α＋β＜π，所以cs(α＋β)＝eq \f(\r(2),2)，α＋β＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(\r(2),2) eq \f(π,4)
[基础题组练]
1．计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
解析：选D．原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝－eq \f(2,3)taneq \f(π,6)＝－eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(2\r(3),9).
2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B．eq \f(3\r(3),5)
C．eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
解析：选D．由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2eq \r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝eq \f(tan（α＋80°）－tan 60°,1＋tan（α＋80°）tan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7).故选D．
3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(6),3)
解析：选D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝sin αcs eq \f(π,6)＋cs αsin eq \f(π,6)－cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))，而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝±eq \f(\r(6),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝±eq \f(\r(6),3)，故选D．
4．若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选C．由题意知eq \f(2（cs2θ－sin2θ）,cs θ－sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
所以2(cs θ＋sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍)．
5．(2020·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( )
A．eq \f(10π,3)或eq \f(11π,3) B．eq \f(37π,12)或eq \f(47π,12)
C．eq \f(13π,4)或eq \f(15π,4) D．eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)
解析：选D．因为3π≤θ≤4π，所以eq \f(3π,2)≤eq \f(θ,2)≤2π，所以cs eq \f(θ,2)≥0，sin eq \f(θ,2)≤0，
则 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \r(cs2\f(θ,2))＋eq \r(sin2\f(θ,2))＝cs eq \f(θ,2)－sin eq \f(θ,2)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)＋2kπ或eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝－eq \f(π,6)＋4kπ或θ＝－eq \f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)，故选D．
6．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cs α＝－eq \r(10)，则tan 2α＝________．
解析：因为(sin α＋3cs α)2＝sin2α＋6sin αcs α＋9cs2α＝10(sin2α＋cs2α)，所以9sin2α－6sin αcs α＋cs2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
7．(2020·平顶山模拟)已知sin α＝－eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))))，若eq \f(sin（α＋β）,cs β)＝2，则tan(α＋β)＝________．
解析：因为sin α＝－eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以cs α＝eq \f(3,5).由eq \f(sin（α＋β）,cs β)＝2，得sin(α＋β)＝2cs[(α＋β)－α]，即eq \f(6,5)cs(α＋β)＝eq \f(13,5)sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝eq \f(6,13).
答案：eq \f(6,13)
8．tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)等于________．
解析：tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)
＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)·\f(sin 20°,cs 20°)－1))
＝eq \f(cs 20°cs 10°,sin 20°)·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)
＝eq \f(cs 10°·2sin（20°－30°）,sin 20°)＝eq \f(－sin 20°,sin 20°)＝－1.
答案：－1
9．已知tan α＝－eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cs β＝eq \f(\r(5),5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得sin β＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
＝eq \f(－\f(1,3)＋2,1＋\f(2,3))＝1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \f(π,2)