2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3第2课时简单的三角恒等变形学案理含解析北师大版

第二课时　简单的三角恒等变形

授课提示：对应学生用书第69页

题型一　三角函数式的化简　　

1．（2021·东莞考前冲刺）cos2＋sin2等于（　　）

A．1　　　　　　　　 B．1－cos 2x

C．1＋cos 2x  D．1＋sin 2x

解析：由cos2＋sin2＝

＋＝（1＋sin 2x＋1＋sin 2x）＝1＋sin 2x．

答案：D

2．化简：＝（　　）

A．1  B．

C．  D．2

解析：原式＝＝＝＝．

答案：C

3．＝_________．

解析：由题意

＝

＝

＝＝＝2．

答案：2

4．若180°＜α＜270°，则 ＝　　　　_________．

解析：原式＝

＝ ，

因为180°＜α＜270°，所以cos α＜0，

从而上式＝ ，

＝ ＝ ，

因为90°＜＜135°，所以sin ＞0，

从而上式＝sin ．

答案：sin

1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

题型二　三角函数式求值　　

考法（一）　给角求值

[例1]　（1）化简等于（　　）

A．－2　　　　　　　　 B．－

C．－1  D．1

（2）计算＝_________．

[解析]　（1）＝＝＝－1．

（2）原式＝

＝＝＝＝－4．

[答案]　（1）C　（2）－4

三角函数给角求值问题的解题策略

一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变形转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形（比如：正负项相消、分子分母相约等）的方式来求值．

考法（二）　给值求值

[例2]　已知cos＝，若π＜x＜π，则的值为_________．

[解析]　法一：由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π．

又cos＝，所以sin＝－，

所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，

从而sin x＝－，tan x＝7．

则＝＝＝－．

法二：由法一得tan＝－．

又sin 2x＝－cos＝－cos

＝－2cos2＋1＝－＋1＝．

则＝

＝＝＝sin 2x·＝sin 2x·tan＝×＝－．

[答案]　－

给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变形把求解目标用已知条件表达出来．

考法（三）　给值求角

[例3]　若sin 2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是_________．

[解析]　因为α∈，所以2α∈，

又sin 2α＝，所以2α∈，

所以cos 2α＝－且α∈，

又因为sin（β－α）＝，β∈，

所以β－α∈，所以cos（β－α）＝－，

所以cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]

＝cos（β－α）cos 2α－sin（β－α）sin 2α

＝×－×＝，

又α＋β∈，所以α＋β＝．

[答案]　π

通过某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

（1）已知正切函数值，则选正切函数．

（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．

[提醒]　对角的范围的限定是求角问题中的难点，一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行：（1）题目给定的角的范围；

（2）利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免增根．

[题组突破]

1．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝（　　）

A．－2  B．－1

C．1  D．2

解析：2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2．

答案：D

2．已知2tan αsin α＝3，－＜α＜0，则cos的值是（　　）

A．0　　　 B．　　　　

C．1　　　 D．

解析：由2tan αsin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝或cos α＝－2（舍去）．∵－＜α＜0，∴sin α＝－，∴cos＝cos αcos＋sin αsin ＝0．

答案：A

3．已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tan β＝－，则2α－β的值为_________．

解析：tan α＝tan（α－β＋β）＝＝＝，所以tan（2α－β）＝tan（α＋α－β）＝＝＝1．

由tan α＝，得tan α＜1，则0＜α＜，得0＜2α＜．

由tan β＝－，知β∈，

得－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－π．

答案：－π

题型三　三角恒等变形的综合应用　　

[例]　已知函数f（x）＝（2cos2x－1）sin 2x＋cos 4x．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；

（2）若α∈（0，π），且f＝，求tan的值．

[解析]　（1）因为f（x）＝（2cos2x－1）sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝（sin 4x＋cos 4x）＝sin，所以函数f（x）的最小正周期T＝．令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z．所以函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

（2）因为f＝，所以sin＝1．又α∈（0，π），所以－＜α－＜，所以α－＝，故α＝．因此tan＝＝＝2－．

三角恒等变形的综合应用主要是将三角变形与三角函数的性质相结合，通过变形把函数化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

[对点训练]

已知函数f（x）＝cos2x＋2sincos

－sin2x．

（1）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）若f（θ）＝，求tan2的值．

解析：（1）依题意，知f（x）＝cos 2x＋sin 2x＝2sin．

因为x∈，所以≤2x＋≤，

所以－≤sin≤1，

则－1≤2sin≤2，

于是当x∈时，f（x）min＝－1，f（x）max＝2．

（2）因为f（θ）＝，所以sin＝，

所以cos＝sin＝

sin＝，

于是tan2＝＝＝＝．

　三角函数求值中的核心素养

数学运算——三角函数求值中的素养问题

数学运算就是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的核心素养．三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角，旨在培养学生的准确、快速的运算能力．

[例]　已知coscos＝－，α∈．

（1）求sin 2α的值；

（2）求tan α－的值．

[解析]　（1）coscos＝cos·sin＝sin＝－，

即sin＝－．

因为α∈，所以2α＋∈，

所以cos ＝－，

所以sin 2α＝sin

＝sincos－cossin

＝－×－×

＝．

（2）因为α∈，

所以2α∈，

又由（1）知sin 2α＝，

所以cos 2α＝－．

所以tan α－＝－

＝

＝

＝－2×

＝2．

发现角之间的联系如：＋＝，2α＋＝2，利用tan α＝进行切弦互化，利用sin2α＋cos2α＝1进行正、余弦互化，本题体现了数学运算核心素养．

[对点训练]

（2021·宜兴月考）已知sin＝，α∈．

（1）求cos α；

（2）求f（x）＝cos 2x＋sin αsin x的最值．

解析：（1）∵sin＝，α∈．

∴cos＝－，

∴cos α＝cos＝－×＋×＝．

（2）由（1）得cos α＝，∵α∈，∴sin α＝，

∴f（x）＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－2＋，

∴当sin x＝时，f（x）取得最大值，当sin x＝－1时，f（x）取得最小值－3．