江西省吉安市泰和县2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份江西省吉安市泰和县2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省吉安市泰和县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若a＜b，则ax2＜bx2
C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，则a+x＞b+x
3．（3分）将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣7） B．（﹣5，1） C．（1，1） D．（1，﹣7）
4．（3分）一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
6．（3分）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题。（每小题3分，共18分）
7．（3分）若分式的值为0，则x＝　 　．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD与BC边交于点D，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为 　 　．

9．（3分）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的值是 　 　．

10．（3分）若关于x的方程﹣＝0产生增根，则m＝　 　．
11．（3分）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置，HG＝24cm，MG＝6cm，MC＝4cm，则阴影部分的面积是 　 　cm2．

12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 　 　．

三、解答题。（每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）分解因式x2y﹣2xy2+y3；
（2）解方程：．
14．（6分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

15．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
16．（6分）如图，7×7的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（找到一个即可）；
（2）在图2中作出∠BAC的角平分线．

17．（6分）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．

四、解答题。（每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．

19．（8分）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．
（1）猜想AC与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接B′D，请说明四边形ACDB′为平行四边形．

五、解答题。（每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）求n，k，b的值；
（2）若函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值，则x的取值范围是多少？
（3）求四边形AOCD的面积．

22．（9分）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
六、解答题。（本大题12分）
23．（12分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌　 　，故EF、BE、DF之间的数量关系为　 　．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为　 　，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC＝45°，若BD＝3，EC＝6，求DE的长．

2021-2022学年江西省吉安市泰和县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若a＜b，则ax2＜bx2
C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，则a+x＞b+x
【分析】根据不等式的性质，即可解答．
【解答】解：A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b，此选项不合题意；
B．当x＝0时，ax2＝bx2，此选项符合题意；
C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b，此选项不合题意；
D．若a＞b，则a+x＞b+x，此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，正数不等号的方向不变．性质3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变改变．
3．（3分）将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣7） B．（﹣5，1） C．（1，1） D．（1，﹣7）
【分析】让点A的横坐标减3，纵坐标加4即可得到平移后点B的坐标．
【解答】解：将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（﹣2﹣3，﹣3+4），即（﹣5，1），
故选：B．
【点评】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
4．（3分）一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个正多边形的边数是9．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
5．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
6．（3分）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题。（每小题3分，共18分）
7．（3分）若分式的值为0，则x＝　﹣1　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】由于此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD与BC边交于点D，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为 　15cm　．

【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD＝DE，再求出BD长，即可得出BC的长．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵D到AB的距离等于5cm，
∴CD＝DE＝5cm，
又∵BD＝2CD，
∴BD＝10cm，
∴BC＝5+10＝15cm，
故答案为：15cm．

【点评】本题主要考查了角平分线性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
9．（3分）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的值是 　k＝﹣3　．

【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【解答】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k＝2x﹣k≥1，
∴2x﹣1≥k且2x﹣1≥﹣3，
∴k＝﹣3．
故答案是：k＝﹣3．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10．（3分）若关于x的方程﹣＝0产生增根，则m＝　﹣5　．
【分析】先求出分式方程的解，解得x＝m+1，再求出方程的增根为x＝﹣4，根据m+1＝﹣4即可求出m的值．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+4）得：m﹣（x﹣1）＝0，
解得：x＝m+1，
∵方程有增根，
∴x+4＝0，
∴x＝﹣4，
∴m+1＝﹣4，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了分式方程的增根，知道增根产生的原因是解题的关键．
11．（3分）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置，HG＝24cm，MG＝6cm，MC＝4cm，则阴影部分的面积是 　132　cm2．

【分析】阴影部分的面积等于直角梯形ABCD的面积减去直角梯形EFMD的面积，也就是直角梯形DMGH的面积．
【解答】解：∵平移不改变图形的形状和大小，
∴直角梯形ABCD的面积＝直角梯形EFGH的面积，
∴直角梯形ABCD的面积﹣直角梯形EFMD的面积＝直角梯形EFGH的面积﹣直角梯形EFMD的面积，
∴阴影部分的面积＝直角梯形DMGH的面积＝（DM+GH）•GM＝×（24﹣4+24）×6＝132（cm2）．
故答案为：132．
【点评】本题考查了直角梯形，梯形，平移的性质，解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的面积为一个直角梯形的面积．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 　4.8或8或9.6　．

【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则12﹣4t＝12﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
三、解答题。（每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）分解因式x2y﹣2xy2+y3；
（2）解方程：．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（2）去分母得：2x﹣4+2（2x﹣1）＝﹣3，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2x﹣1＝0，
∴x＝是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法及分式方程的解法是解本题的关键．
14．（6分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣2≤3x，得：x≤1，
由＜﹣1，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝（﹣）•
＝•﹣•
＝﹣
＝
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
∴x＝3，
∴原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．（6分）如图，7×7的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（找到一个即可）；
（2）在图2中作出∠BAC的角平分线．

【分析】（1）构造AC＝AD＝5或CA＝CD＝5即可．
（2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ABD，△ABD′即为所求．
（2）如图2中，射线AP即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（6分）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．

【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴×8×DE+×8×DF＝28，
∴8DE＝28．
∴DE＝3.5．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE＝DF是解此题的关键．
四、解答题。（每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．

【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；

（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
19．（8分）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【分析】（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，
y≥140，
∴y最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书．
【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．
（1）猜想AC与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接B′D，请说明四边形ACDB′为平行四边形．

【分析】（1）由等边三角形的性质可得DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，由折叠的性质和平行四边形的性质可证EA＝EC，可得∠DAC＝∠ECA＝30°，可求∠ACD＝90°，可得结论；
（2）由平行四边形的性质和折叠的性质可得AB＝CD＝AB'，AB∥CD，可证四边形ACDB′为平行四边形．
【解答】解：（1）结论：AC⊥AB，
理由如下：
∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，
根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC，
∴∠DAC＝∠ECA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）证明：由（1）可知，∠BAC＝90°，
由折叠可知∠B′AC＝∠BAC＝90°，
∴B、A、B′三点在同一条直线上，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
由折叠可知AB＝A B′，
∴A B′∥CD，AB'＝CD，
∴四边形ACDB′为平行四边形．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
五、解答题。（每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）求n，k，b的值；
（2）若函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值，则x的取值范围是多少？
（3）求四边形AOCD的面积．

【分析】（1）由y＝x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），可得D的坐标，由一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1）与D（1，2），即可求出k，b的值；
（2）根据图象即可得出答案；
（3）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD即可求解．
【解答】解：（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1，即A（0，1），
把B（0，﹣1）代入y＝kx+b中，得：b＝﹣1，
把D（1，n）代入y＝x+1得：n＝2，即D（1，2），
把D坐标代入y＝kx﹣1中得：2＝k﹣1，即k＝3，
故n，k，b的值分别为：2，3，﹣1；
（2）∵一次函数y＝x+1与y＝3x﹣1交于D（1，2），
∴由图象得：由一次函数图象可得当x＞1时，函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值；
（3）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示，

则S四边形AOCD＝S梯形AOED﹣S△CDE＝（AO+DE）•OE﹣CE•DE＝×（1+2）×1﹣××2＝﹣＝．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法，四边形的面积公式，等解本题的关键用方程的思想解决问题．
22．（9分）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
六、解答题。（本大题12分）
23．（12分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌　△AFE　，故EF、BE、DF之间的数量关系为　EF＝DF+BE　．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为　EF＝DF﹣BE　，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC＝45°，若BD＝3，EC＝6，求DE的长．
【分析】（1）先根据旋转得：∠ADG＝∠A＝90°，计算∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF＝FG，可得结论EF＝DF+DG＝DF+BE；
（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF＝FG，所以EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE；
（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，证明△DAE≌△GAE，得DE＝EG，先由勾股定理求EG的长，从而得结论．
【解答】解：（1）思路梳理：
如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，即AB＝AD，
由旋转得：∠ADG＝∠A＝90°，BE＝DG，∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∴∠FDG＝∠ADF+∠ADG＝90°+90°＝180°，
即点F、D、G共线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD+∠DAG＝∠FAG＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG＝45°，
在△AFE和△AFG中，
∵，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∴EF＝DF+DG＝DF+BE；
故答案为：△AFE，EF＝DF+BE；
（2）类比引申：
如图2，EF＝DF﹣BE，理由是：
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
由旋转得：BE＝DG，∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAG＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE；
（3）联想拓展：
如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
由旋转得：AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，BD＝CG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACG＝∠B＝45°，
∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝45°+45°＝90°，
∵EC＝6，CG＝BD＝3，
由勾股定理得：EG＝＝＝3，
∵∠BAD＝∠CAG，∠BAC＝90°，
∴∠DAG＝90°，
∵∠BAD+∠EAC＝45°，
∴∠CAG+∠EAC＝45°＝∠EAG，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠EAG＝45°，
∵AE＝AE，
∴△AED≌△AEG，
∴DE＝EG＝3．


【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．