2021-2022学年广西贵港市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年广西贵港市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若向量，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知点是抛物线：的焦点，是上的一点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
   
   下列四个结论中错误的是(    )

A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢
C. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D. 年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平

6. 函数的部分图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知命题：，命题：，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 设，满足约束条件则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知圆锥的底面直径为，圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，则______．
14. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则的离心率为______．
15. 别写有，，，的张卡片中不放回地随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为______．
16. 在长方体中，底面是边长为的正方形，，过点作平面与，分别交于，两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：
    异面直线与所成角的余弦值为；
    平面；
    点到平面的距离为；
    截面面积的最小值为．
    其中正确的是______请填写所有正确说法的编号

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
    求的通项公式；
    设，求数列的前项和．
18. 函数的图像在点处的切线恰好经过点．
    求；
    已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．
19. 某产品的广告费用支出单位：万元与销售额单位：万元的数据如下表．

在给出的坐标系中画出散点图；
建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
利用所建立的模型，预测当广告费用支出为万元时，销售额为多少．
参考公式：线性回归方程中的系数，

20. 如图，在三棱锥中，平面，点，分别是，的中点，且．
    证明：平面．
    若，，求点到平面的距离．

21. 已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点．
    求椭圆的方程；
    直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．
22. 已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    已知直线与曲线相交于，两点，点的直角坐标为，求．
23. 已知函数．
    求不等式的解集；
    若函数的最大值为，正数，满足，求的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合补集和交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集和交集的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以，解得．
故选：．
利用向量平行列方程组即可求解．
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由抛物线的定义可知，，所以．
故选：．
根据抛物线的定义即可求解．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；
由扇形统计图可知年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；
由条形统计图可知年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确；
三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故B错误．
故选：．
根据三幅统计图依次判断每个选项即可．
本题考查命题真假的判断，考查折线图、扇形统计图、条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，，其定义域为，
又由，则函数为奇函数，排除，，
当时，，则，故，又由，必有，故排除，
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性排除，再分析函数在的符号，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：命题：，即或，
为，
又命题：，且与二者均无包含关系，
是的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据已知条件，求出，再结合集合之间的关系，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由约束条件可得如下可行域，

而表示直线在坐标轴上的截距，
由图知：当直线过与的交点时，取得最大值．
故选：．
先画出可行域，数形结合，根据目标式的几何意义求其最大值即可．
本题主要考查线性规划的应用，属于中档题，数形结合是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，边化角得，
又，所以，
展开得，
所以，
因为，所以．
故选：．
根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为的最小正周期为，所以．
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
当，，所以的值域为．
故选：．
根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域．
本题考查的知识要点：函数关系式的求法，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面直径为，圆锥的侧面展开图是半圆，
设圆锥的母线长为，其侧面展开图的弧长为，
，解得，
圆锥的表面积为．
故选：．
设圆锥的母线长为，由其侧面展开图的弧长为，列方程求出，由此能求出圆锥的表面积．
本题考查圆锥的侧面展开图、扇形性质、圆锥的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，
设点，
，关于轴对称，
点，
，
即；
令，
，
故在上单调递增，在上单调递减，
而，，，
，
故的取值范围是，
故选：．
由题意设点，则点，从而可得，构造函数，求导求函数的最值，从而求的取值范围．
本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，应用了构造函数的方法，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
则．
故答案为：．
由已知求得，再由二倍角的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为的实轴长是虚轴长的倍，所以，从而．
故答案为：．
由题意可得和的比值，然后由公式．
本题考查了双曲线离心率的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：从张卡片中不放回地抽取张，共有，，，，，这种情况，
设抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的事件为，其中包含的基本事件有，这种情况，
由古典概型的计算公式得故概率为．
故答案为：．
利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解．
本题考查了古典概型概率计算相关知识，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意得，，
因为，所以异面直线与所成的角即或其补角．
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故错误．
由于，平面，平面，故正确．
设点到平面的距离为，由，
得，解得，故错误．

如图，过点作，连接E.
因为平面，所以，所以平面，
则，平面平面，故为与平面所成的角，则，
在中，，则有，，
在中，由射影定理得，
由基本不等式得，当且仅当，
即为的中点时，等号成立，所以截面面积的最小值为，故正确．
故答案为：．
利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断，利用线面平行的判定定理可判断，利用等积法可判断，过点作，连接，进而可得为与平面所成的角，结合条件及基本不等式可判断．
本题考查点到平面的距离及线线角，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：等差数列中，，解得，
因，，成等比数列，即，
设的公差为，于是得，
整理得，而，解得，
所以．
由知，，
所以． 

【解析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答．
利用的结论，结合裂项相消法计算作答．
本题考查了等差数列与等比数列的综合计算以及裂项相消求和，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，得，则，
又，函数的图象在点处的切线方程为，
即，把点代入切线方程，得，解得；
由，且函数在其定义域内单调递增，
得在上恒成立，，
，当且仅当时等号成立，
，则的取值范围为． 

【解析】利用导数求出曲线在点处切线的斜率，运用点斜式得切线方程，将点代入即可求得值；
运用恒成立，得，再由基本不等式求最值，即可得到的取值范围．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．
 

19.【答案】解：如图所示，

由表格中的数据求得，，
，
，
则，，
销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；
由得，当时，，
则当广告费用支出为万元时，销售额为万元． 

【解析】根据表中数据直接描点即可；
根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；
根据回归方程，将代入即可得解．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力．是基础题．
 

20.【答案】证明：由平面，得，
又，点为的中点，所以，
由，为的中点，得，所以，即，
又，所以平面；

解：由可得，因为，所以，
因为，所以，
因为是斜边上的中线，所以，又是线段的中垂线，所以，
从而，
作，垂足为，因为，，所以平面，
即是三棱锥的高，且，，
设点到平面的距离为，由，
得，解得． 

【解析】由题可得，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得；
作，可得平面，然后利用等积法即得．
本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，，所以．
因为，
设代入椭圆的方程，可得，
联立方程组，可得，，
所以椭圆的方程为；
 若直线的斜率存在，设的方程为，设，，
联立方程组，
整理可得：，，
且，，
又，所以，且，即，则．
因为，，所以，
整理得，则，且，且恒成立，
，
又，且，所以，且，
所以，
当直线的斜率不存在时，，，又，
而，解得，
，
，解得，则．
综上所述，的取值范围为 

【解析】由题意直线的倾斜角可得，的关系，再由弦长的值可得，的坐标，代入椭圆的方程，可得，的关系，两式联立可得，的值，进而求出椭圆的方程；
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，整理，再由题意可得参数的关系，求出数量积的取值范围．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，分类讨论的思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：由为参数，消去参数，可得的普通方程，
由曲线的极坐标方程，结合，，
可得，整理得，
曲线的直角坐标方程为；
将为参数代入，
得，整理得．
设，对应的参数分别为，，
则，，
． 

【解析】把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，由曲线的极坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】解：当时，由，解得，
综合可得，不等式的解集为．
当时，由，解得，
综合可得，不等式的解集为．
当时，由，解得，
综合可得，不等式的解集为．
综上所述，不等式的解集为．
因为，
，．
，
，
当且仅当时，即，时，等号成立，
故的最小值为． 

【解析】由题意，分类讨论，化简，分别求出的解集，综合可得结论．
先求出，把变形后，利用基本不等式，求得它的最小值．
本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．