2021-2022学年河南省南阳地区高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省南阳地区高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 点的极坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 关于下面演绎推理：
   大前提：指数函数均为单调函数．
   小前提：是指数函数．
   结论：是单调函数．
   下列表述正确的是(    )

A. 大前提错误导致结论错误 B. 小前提错误导致结论错误
C. 推理形式错误导致结论错误 D. 此推理结论正确

4. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 执行如图所示的程序框图，则输出的(    )

A.
B.
C.
D.

6. 给出下列类比推理命题，其中类比结论正确的是(    )

A. 由“已知，为实数，若，则”类比推出“已知，为复数，若，则
B. 由“已知，，为实数，若，则”类比推出“已知，，为平面向量，若，则”
C. 由“在平面内，若直线，，满足，，则”类比推出“在空间内，若直线，，满足，，则”
D. 由“若圆的半径为，则圆的面积为”类比推出“若球的半径为，则球的表面积为”

7. 已知，，三个地区暴发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．假设这三个地区人口数的比为：：，现从这三个地区中任意选取一个人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知一组数据，，，，，，按此规律可以得到第个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若复数满足，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知直线的参数方程为为参数，则的倾斜角是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知曲线为参数上任一点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若，则的虚部为______．
14. 曲线上任意一点到直线的距离的最大值为______．
15. 铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用，近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是高速铁路的投资力度，铁路行业得到了快速发展．用，，，，分别表示年至年，得到动车组数量与相应年份编号之间的统计数据如表．

由表格可知，与之间存在线性相关关系，回归方程为，则估计年动车组的数量为______千组．

16. 小张、小明、小红三人去选报课外社团活动，每人选报的活动不是篮球就是围棋，且每人只能选报其中一种．
    如果小张选报的是篮球，那么小明选报的是围棋．
    小张或小红选报的是篮球，但是不会两人都选报篮球．
    小明和小红不会两人都选报围棋．
    同时满足上述三个条件的不同选报方案有______种．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为．
    求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
    已知射线与曲线，分别交于，两点，求．
18. 年北京冬奥组委发布的北京年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告显示，北京冬奥会签约了家赞助企业．为了解这家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于小时的企业有家，剩下的企业中，每天的销售额不足万元的企业占这剩下的企业数量的，统计后得到如下列联表．

请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
按每天线上销售时间进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取家企业，再从这家企业中抽取家企业，求抽取的家企业中至少有家企业每天线上销售时间不少于小时的概率．
参考公式及数据：，其中．

19. 已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    若直线与曲线交于，两点，点的直角坐标为，求．
20. 某产品的广告费用支出单位：万元与销售额单位：万元的数据如下表．

在给出的坐标系中画出散点图；
建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
利用所建立的模型，预测当广告费用支出为万元时，销售额为多少．
参考公式：线性回归方程中的系数，

21. 在各边长均不相等的中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
    用分析法证明；
    用反证法证明为锐角．
22. 已知函数，为的导函数．
    若，证明：曲线与轴相切．
    证明：对于任意大于的自然数，不等式恒成立．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数，
在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，设点的极坐标，
则，，，则，
则点的极坐标为；
故选：．
根据题意，设点极坐标，求出的值，又由，，求出的值，分析可得答案．
本题考查极坐标系下点的坐标，注意极坐标系的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：是幂函数，而非指数函数，是因为小前提错误导致结论错误．
故选：．
判断大前提和小前提的正误后能求出结果．
本题考查演绎推理，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，则，
所以，解得，，
所以．
故选：．
设，根据已知求出，即可得出答案．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数相等的条件，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：初始值：，，
第一次执行循环体：，，，
第二次执行循环体：，，，
第三次执行循环体：时，，，

所以周期为，
所以当时输出．
故选：．
根据程序框图及其执行逻辑得到周期为，并求出前个值，利用周期性确定输出值．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于，复数不能比较大小，故A错误；
对于，，，为平面向量，若，则和模相等，夹角相等，所以，故B正确；
对于，在空间内，若直线，，满足，，则与有可能平行，相交，异面，故C错误；
对于，球的表面积为，故D错误．
故选：．
根据复数不能比较大小即可判断；根据向量数量积的定义即可判断，根据空间中两条直线的位置关系即可判断，根据球的表面积公式即可判断．
本题考查类比推理，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，三个地区暴发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．假设这三个地区人口数的比为：：，设此人患流感为事件，则．
设此人选自地区为事件，则．
故选：．
根据条件概率公式计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，，，，的一个通项公式为，
所以第个数为，
故选：．
由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第个数．
本题考查简单的归纳推理、数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，
则，
因为表示以为圆心，以为半径的圆，
所以可理解为圆上的点到的距离，
故的最大值为．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：数对所有的可能的结果有：
，，，，，，，，，共个，
其中满足的数对有：，，，共个，
所有数对中满足的概率为．
故选：．
列举出数对所有可能的结果，并确定满足的数对的个数，根据古典概型公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以直线的斜率为，所以的倾斜角是．
故选：．
将直线参数化为标准形式即可得出斜率，求出倾斜角．
本题考查的知识要点：直接利用直线的参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：为参数，
，
的最小值为，
若不等式恒成立，
则，
故实数的取值范围是．
故选：．
利用参数方程求出的最小值，即可求解．
本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，所以的虚部为，
故答案为：．
利用复数乘法公式得到，求出虚部．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：曲线，根据，转换为直角坐标方程为；
直线，根据，转换为直角坐标方程为；
利用圆心到直线的距离；
所以最大距离为；
故答案为：．
首先利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程和，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知可得：，
则样本中心点为，代入线性回归方程，可得，解得，
线性回归方程为，
取，可得．
故答案为：．
由已知可求样本中心，代入回归方程可得，取求解即可．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：若小张选报的是篮球，由可得小明选报的是围棋，
由知，则小红选报的是篮球，
此时小张和小红选报的都是篮球，与矛盾，即小张不能选报篮球，故小张选报的是围棋，
故符合题意的选报有小张报围棋，由知小红选报的一定是篮球，
小明选报篮球或围棋均可，故同时满足三个条件的不同选报方案有种；
故答案为：．
根据三个不同的限制条件，分别讨论小张报的是篮球或排球，进行验证即可．
本题主要考查简单的计算问题，根据条件分别利用列举法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

17.【答案】解：为参数，，，，所以，
即曲线的普通方程为，
由，得，
所以，即曲线的直角坐标方程为，
由，得，
所以，
所以，
当时，；
因为，所以，所以，
对于，当时，，得，
所以，
所以． 

【解析】将曲线的参数方程中的参数消去可得其普通方程，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出的直角坐标方程；
将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，然后将代入可求出点的极坐标，将代入曲线的极坐标方程可求出点的极坐标，从而可求出．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：每天线上销售时间不少于小时的企业有家，剩下的企业中，每天的销售额不足万元的企业占这剩下的企业数量的，
不足小时且每天的销售额不足万元的企业为 家，
故列联表如下：

，
由独立性检验的定义可知，有的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关联．
这家企业中每天线上销售时间不少于小时的企业有家，不足小时的企业有家，
抽出的家企业中每天线上销售时间不少于小时的企业有家，不足小时的企业有家，
记这家企业中每天线上销售时间不少于小时的家企业分别为，，不足小时的家企业分别为，，，
则从这家企业中抽取家的所有情况有：，，，，，，，，，，共种，
其中至少有家企业线上销售时间不少于小时的情况有，，，，，，，共种，
故抽取的家企业中至少有家企业每天线上销售时间不少于小时的概率为． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为直线的参数方程为为参数，
所以直线的普通方程为，
由，得，
因为，
所以曲线的直角坐标方程为，即；
解：因为，所以点在直线上，
将直线得方程转化为参数得标准式为为参数，
代入，
得，
则，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转化即可；
将直线方程化为参数得标准式，代入曲线方程，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用即可得出答案．
本题考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化以及直线的参数方程中参数意义的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：如图所示，

由表格中的数据求得，，
，
，
则，，
销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；
由得，当时，，
则当广告费用支出为万元时，销售额为万元． 

【解析】根据表中数据直接描点即可；
根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；
根据回归方程，将代入即可得解．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力．是基础题．
 

21.【答案】证明：要证，
只需证：，
，，为三边，
只需证，
即证，
即证，
又当且仅当时取等号，
，，互不相等，
成立，
．
证明：假设，则，
由余弦定理得：，
当且仅当时取等号，
，，互不相等，
，
，与矛盾，
假设不成立，
为锐角． 

【解析】将所证不等式转化为证明，对已知等式应用基本不等式即可得到结论．
假设，可知；利用余弦定理和基本不等式可得，由此可知假设错误，得到结论．
本题主要考查不等式的证明，掌握分析法，以及余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

22.【答案】证明：，，解得，
故，，
令，则，，
所以过点的切线方程为，
所以曲线与轴相切；
由知，当时，，
令，得，令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
则不等式对任意恒成立，当且仅当时，等号成立，
所以当时，恒成立，
令，
则，
当时，．
当时，
，
综上可得，
故． 

【解析】求导，根据导数值求出，再根据导数的几何意义证明轴是曲线的切线即可；
由证明不等式对任意恒成立，令，则，可得，进一步证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，考查了放缩思想，属于难题．