2021-2022学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若复数满足其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 当用反证法证明命题“设，为实数，则关于的方程至少有一个实根”时，要做的假设是(    )

A. 方程没有实根
B. 方程：至多有一个实根
C. 方程至多有两个实根
D. 方程恰好有两个实根

3. 对两个变量与进行回归分析，有个不同模型可供选择，其中拟合效果最好的是(    )

A. 模型的相关系数为 B. 模型的相关系数为
C. 模型的相关系数为 D. 模型的相关系数为

4. 我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法可得：在空间中，点到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了月月以来手机的实际销量，如表所示：

若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法不正确的是(    )

A. 由题中数据可知，变量和正相关，且相关系数一定小于
B. 由题中数据可知，月份该商场手机的实际销量为千只
C. 若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过，，，中的任一个点
D. 若不考虑本题中的数据，，则回归直线过点

6. 在极坐标系中，已知两点，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 聊斋志异中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，按照规律，若具有“穿墙术”，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知复数，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家”，朱世杰就是其中之一．他的著作算学启蒙中，记载有这样一个“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图．若输入的，分别为，，则输出的(    )

A.
B.
C.
D.

10. 设，，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 用模型拟合一组数据时，设，将其变换后得到经验回归方程为，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”，某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐，规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为，，且，，；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是(    )

A. 乙有四场比赛获得第三名 B. 每场比赛第一名得分为
C. 甲可能有一场比赛获得第二名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 袋子中装有个黑球和个白球共个小球，如果不放回地依次摸取个小球，则在第次摸到黑球的条件下，第次还摸到黑球的概率为______．
14. 在平面直角坐标系中，曲线为参数，在以原点为极点，轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线：，设点，分别在曲线、上，则的最大值是______．
15. 已知定义在上的函数，若对，恒成立，则实数的取值范围为______．
16. 在第届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第个图中的三角形的周长为，则第个图形的周长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数是虚数单位．
    若是纯虚数，求的值；
    设是的共轭复数，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
18. 年支付宝“集五福”活动从月日开始，持续到月日，用户打开支付宝最新版，通过扫描“福”字集福卡爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福，在除夕夜：前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取名进行调查，得到统计数据如下表所示：

假设未参与的视为未集齐“五福”卡者，请根据以上数据，判断是否有的把握认为是否集齐“五福”与性别有关；
现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人中恰有人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：，其中．

19. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
    若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的长．
20. 在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从年到年在线音乐市场规模变化情况如表所示：

将年作为第年，设第年的市场规模为亿元．
与哪一个更适宜作为市场规模关于的回归方程？给出判断即可，不必说明理由
根据中的判断及表中的数据，求市场规模关于的回归方程．系数精确到
参考数据：令，，，，，，，．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

21. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立．
    试给出这个常数的值；
    在所得结论的条件下证明命题．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．
    求曲线的直角坐标方程；
    已知直线的参数方程为为参数，，点，并且直线与曲线交于，两点，求．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，求解即可．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，
命题“设，为实数，则关于的方程至少有一个实根”的否定是“方程没有实根”．
故选：．
反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
本题主要考查了反证法，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：相关系数的绝对值越大，拟合的效果越好，而选项的的绝对值最大，因此，模型的拟合效果最好．
故选：．
依据相关系数的绝对值越大，拟合的效果越好，对各选项逐一分析判断，即可得到答案．
本题是一道关于回归模型的题目，熟练掌握相关系数的定义是解题的关键，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在平面内，点到直线的距离公式为，
通过类比的方法可得：在空间中，点到平面的距离为，
故选：．
根据类比推理可得空间中点到平面的距离公式，进而求解．
本题主要考查了类比推理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，样本点不全在上，
所以相关系数一定小于，故A正确，
对于，将代入，则，
故月份该商场手机的销量预测值千只，故B错误，
对于，回归直线可能不过样本点中的任何一个点，故C正确，
对于，回归直线一定经过样本中心，故D正确．
故选：．
对于，结合样本点不全在上，即可求解，
对于，将代入，即可求解，
对于，结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在极坐标系中，两点，都在射线上，
线段的长度为．
故选：．
由已知直接利用零点的极径差得答案．
本题考查简单曲线的极坐标方程，训练了极坐标系内两点间距离的求法，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可．
本题考查“穿墙术”的规律，寻找相同性质，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
又，
，即，，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：输入的，分别为，时，
第一次执行循环体后，，，不成立，；
第二次执行循环体后，，，不成立，；
第三次执行循环体后，，，不成立，；
第四次执行循环体后，，，成立，输出．
故选：．
按流程图逐一执行即可．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
设，，，
则，且，
，
的最小值是，
故选：．
先得到，将椭圆的参数方程转换为三角函数，再求出最值即可．
本题考查椭圆的参数方程的应用，三角函数求最值问题，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，解得，，
．
故选：．
对函数两边同时取对数，再结合经验回归方程为，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题可知，且，，都是正整数，
，
当时，甲最多可以得到分，不符合题意，
当时，，不满足，
推断出，，，，
最后得出结论：
甲个项目得第一，个项目得第三，
乙个项目得第一，个项目得第二，个项目得第三，
丙个项目得第二，个项目得第三，
所以选项是正确的．
故选：．
先计算总分，推断出，再根据正整数把，，计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案．
本题考査了逻辑推理．通过大小关系首先确定的值是解题的关键．意在考査学生的逻辑推断能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设第次摸到黑球为事件，第次摸到黑球为事件，故，，．
故答案为：．
先根据题意，计算，，再利用条件概率公式即可．
本题考查条件概率，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：曲线为参数，化为，可得圆心，半径，
曲线：，化为，可得圆心，半径．
．
的最大值．
故答案为：．
把极坐标与参数方程分别化为直角坐标方程与普通方程，利用两点之间的距离公式求出圆心之间的距离，进一步可得的最大值．
本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
令，则，
故在上单调递增，则，
则，，显然在上单调递增，
故在上单调递增，
若对，恒成立，
则，即，
在上的最大值是，的最小值是，
，故的取值范围是，
故答案为：．
求出，得到在上单调递增，在上单调递增，求出在上单调递增，问题转化为，即，，求出的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，当时，第个图中的三角形的边长为，三角形的周长为，
当时，第个图中的边长为，共有条边，其周长为，
当时，第个图中的边长为，共有条边，其周长为，
当时，第个图中的边长为，共有条边，其周长为，
故答案为：．
根据题意，分别求出每个图形的边长以及边数，由此即可求解．
本题考查了归纳推理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
是纯虚数，，解得．
，
，
，
又复数在复平面内对应的点位于第三象限，
，解得，
的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算法则，以及纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算法则，以及纯虚数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
所以有的把握认为是否集齐“五福”与性别有关；
分层抽样的方法从男性的样本中抽取人中，集齐五福的抽取人，没有集齐五福的抽取人，
从这人中抽取的人恰有人没有集齐五福的事件数：，
从这人中抽取人的基本事件数为：，
这人中恰有人未集齐“五福”卡的概率． 

【解析】利用独立性检验计算公式，直接计算出，即可解出；
用分层抽样的方法计算出抽取的男性集齐五福和没有集齐五福的人数，再利用古典概型的概率计算公式，即可解出．
本题考查了统计与概率，古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由为参数，消去参数，可得直线的普通方程为，
由，得，
则曲线的直角坐标方程为；
将代入曲线的极坐标方程，
可得，．
又直线的极坐标方程为，
令，得，
． 

【解析】由为参数，消去参数，可得直线的普通方程；由，得，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；
将代入曲线的极坐标方程，求得又直线的极坐标方程为，令，得，作差可得．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由表中数据可得，随着年份的增长，市场规模增长速度越来越快，故更适宜．
，，，
因为系数要求精确到，
所以关于的回归方程为． 

【解析】结合表中的增长速度，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：令
得：     故； 分
先证明．
，，要证上式，只要证，
即证，即证，这显然成立．．
再证明：
，，要证上式，只要证，
即证，即证，这显然成立．． 

【解析】令，得；
用分析法证明结论．
考查用分析法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，找出的值，是解题的突破口．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，，整理得曲线的普通方程．
直线的参数方程为为参数，，代入；
得到，
所以，；
故． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．