2021-2022学年甘肃省酒泉市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省酒泉市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D. 或

2. 若复数满足，则的模为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一次投篮练习后体育老师统计了第一小组个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平均命中次数为，方差为，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为，那么这个小组个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于综合法和分析法说法错误的是(    )

A. 综合法和分析法都是直接证明中最基本的两种证明方法
B. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
C. 综合法又叫顺推证法或由因导果法
D. 分析法又叫逆推证法或执果索因法

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知一个算法的流程图如图所示，则输出的结果是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中任取个，则互斥而不对立的两个事件是(    )

A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红、黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球

8. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 直线被圆所截得的最短弦长等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在四边形中，，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于原点对称，若，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知角的终边经过点，则的值等于______．
14. 正项递增等比数列，若，，则______．
15. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是______．
16. 在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界如图，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形如图已知正六边形的边长为，点满足，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知数列为等差数列，其中，．
    Ⅰ求数列的通项公式：
    Ⅱ记，求的前项和为．
18. 函数的部分图象如图所示．
    Ⅰ求的最小正周期及解析式；
    Ⅱ设，求函数在区间上的最小值．

19. 新一轮高考改革学生需要选科，首先是在物理和历史两科中任选一门，然后在化学、生物、政治、地理四科中选两科．为了更好的指导学生选科，各学校都积极开设生涯规划课程选修，做好学生发展指导工作．某高中学校对该校学生选科情况进行跟踪调查，发现学生是否参加了生涯规划课程对学生选科后的满意度有影响，学校从届的毕业生中，抽取了参加过生涯规划课程和未参加生涯规划课程的学生各名，得到下表中的数据．
    根据表中的数据，能否在犯错概率不超过的前提下认为学生选科的满意度与是否参加过生涯规划课程有关；

为了进一步分析和了解学生选科的满意度，按分层抽样的原则从未参加过生涯规划课程的学生中抽取一个容量为的样本，要从人中任取人参加座谈，求被选取的人中至少有人对自己选科不满意的概率．
附：，

20. 如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．
    求证：平面；
    求证：平面平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知函数的图象经过点，
    求的值；
    求函数的定义域和值域；
    判断函数的奇偶性并证明．
22. 如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高，灯杆与地面所成角为路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定的平面内．
    当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线？
    如果灯罩轴线正好通过路面的中线，此时有一高的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
或，
则．
故选：．
化简集合，，求出，再根据交集的定义求出．
本题考查集合的运算，交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的模，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设个同学的命中次数分别为，，，，，，；
则第一小组个同学时的方差为，
故，
故这个小组个同学投篮命中次数组成的新样本的方差为，
，
故选：．
设个同学的命中次数分别为，，，，，，；由方差的定义分别写出方差公式，化简即可．
本题考查了方差的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，
根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法；
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．
所以选项ACD正确，B错误．
故选：．
由综合法和分析法的定义，可得结论．
本题考查直接证明中的两种方法，考查判断能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据该几何体的三视图，可知该几何体是如图所示的直三棱柱将三棱锥切除后余下部分，即四棱锥，

由三视图中的数值可知，
直三棱柱中，，
所以该几何体的体积为：．
故选：．
根据题意可知该几何体是直三棱柱，将三棱锥切除后余下部分，作出草图，结合题中所给数据即可求出结果．
本题考查三视图，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：模拟执行程序，，满足，
，，满足，
，，满足，
，，满足，
，，满足，
，，不满足，跳出循环，输出．
故选：．
模拟执行程序，依次计算能求出结果．
本题考查程序框图的性质、模拟执行程序等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查互斥而不对立事件的判断，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用，属于基础题．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】
解：袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中任取个，
在中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：由，两边平方得，，
．
故选：．
直接把已知等式两边平方求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆的方程为圆，圆心，半径为．
直线，
此直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
弦心距为：．
所截得的最短弦长：．
故选：．
易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，应注意直线恒过定点．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：．
利用指数函数，对数函数的单调性，比较与，之间的关系，即可得出答案．
本考查函数值的大小关系，解题关键是熟悉基本初等函数的单调性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，令，则，，
在中，由正弦定理得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
故，代入数据得，
整理得，又，故，解得，
故选：．
由题意，连接，令，在与中，分别用正弦定理建立方程，得到关于的方程，解出它的正切值，即可得出的长．
本题考查解三角形，三角形中的几何计算，考查方程的思想，逻辑推理能力，计算能力，难度较高，易因为找不到等量关系导致无从下手解答本题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
因为定义在上的函数对任意都有，
所以定义在上的函数对任意都有，
所以定义在上的函数对任意都有，
所以在上单调递增，
因为函数的图像关于原点对称，
所以在上单调递增，
又，
所以，
不等式，
所以，
故选：．
令，由定义在上的函数对任意都有，得在上单调递增，又函数的图像关于原点对称，
，可得时，的图像情况，属于基础题．
本题考查函数的单调性，奇偶性，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，
，得，，
．
故答案为：．
由已知利用任意角的三角函数的定义求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：正项递增等比数列，若，，
，解得或舍，
．
故答案为：．
由等比中项的性质求出，，由此能求出结果．
本题考查等比数列的运算，考查正项递增等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
由，解得，
因为阴影部分表示的平面区域是一个三角形，
所以的取值范围是．
故答案为：．
画出不等式组表示的平面区域，根据平面区域是一个三角形，结合图形得出的取值范围．
本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：正六边形，，
正六边形的边长为，，
，
，
故答案为：．
利用正六边形的性质得到，再利用平面向量的数量积运算求解即可．
本题考查正六边形的性质，平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
依题意有，
解得，，
从而的通项公式为；
Ⅱ因为，
所以 ． 

【解析】Ⅰ设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由图可知，
，
，----------------------分
当时，，
可得，
，
，
-------------------------------------------分
Ⅱ

-------------------------------------------------分
-------------------------------分
，
的最小值为---------------------------分 

【解析】Ⅰ根据图象求出，计算周期，将的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；
Ⅱ求出的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可．
本题考查了求三角函数的解析式，考查三角函数的性质，是一道中档题．
 

19.【答案】解：．
故能在犯错概率不超过的前提下认为学生选科的满意度与是否参加过生涯规划课程有关．
由题知，所取样本中，对自己选科满意的人，设为，，，
对自己选科不满意的为人，设为，，
从人中任取人，分别为：，，，，，，，，，，共种情况，
其中事件“至少有人对自己选科不满意”记为，分别为：，，，，，，，共种情况，
故所求概率为． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：如图，取中点，连，．
为中位线，，又平面，平面，
平面．
同理，在梯形中，，又平面，平面，
平面，且平面，平面，，
平面平面．
又平面，所以平面．

证明：如上图，在四边形中，过作交于，
在中，得，，，则，得，
，．
又由已知条件，，故A平面．
又平面，平面平面．
解：设点到面的投影距离为，则，中，，，由勾股定理，，
又由，，得，解得．
从而得．
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】通过添加辅助线，利用面面平行的判定定理证明面面，进一步证明平面；
先证明平面，再证明平面平面；
利用面面垂直的判定定理证明平面平面，通过计算三棱锥的体积，求解点到面的投影距离，井而求解直线与平面所成用的正弦值．
本题考查线面平行、面面垂直、及线面角，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由函数图象过点，
得，
解得：；
由得，，
定义域为，且在上单调递增，
当时，，
当时，，
的值域为；
证明：定义域为，关于原点对称，
，
为奇函数． 

【解析】根据函数图象过点，求得值；
判断函数单调性，进而求得函数定义域、值域；
根据奇偶性的定义证明即可．
本题考查函数的定义域、值域，及奇偶性，是基础题．
 

22.【答案】解：分别以图中、所在直线为、轴，建立平面直角坐标系，如图所示；
灯杆与地面所成角为，，方程为：，
因为灯罩线与灯杆垂直，
可设的斜率为，则，
又，
所以直线的方程为：，
由组成方程组，求得点；
所以，
即当灯杆长度为时，灯罩轴线正好通过路面的中线；
设警示牌为，且，
则，，
所以直线的方程为：，
令，解得，
所以，
所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为 

【解析】本题考查了阅读理解能力和数学建模能力以及运算求解能力的应用问题，也考查了直线方程以及直线与直线的位置关系应用问题．
分别以图中、所在直线为、轴，建立平面直角坐标系，
利用坐标表示点和，写出、的方程，求出点的坐标，再求的值；
设警示牌为，写出直线的方程，求出的影子长度的值．