2021-2022学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 设集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 复数其中为虚数单位在复平面内对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在等比数列中，，，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5. 已知向量，若，则在方向上的投影为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”，大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强已知在某高山，两处测得的大气压强分别为，，，那么，两处的海拔高度的差约为参考数据：(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，网格纸中小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知命题：，；命题：，直线：与圆：有公共点，若或为真，且为假，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C. ， D. ，

11. 设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为，，其中为坐标原点，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是(    )

A. 是以为周期的周期函数
B.
C. 函数有个零点
D. 当时，

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 在的展开式中，的系数为          用数字作答
14. 已知中，，，，则面积为________．
15. 已知函数，点，，是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则______．
16. 在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一半径为的球，则平面截该球的截面面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知等差数列中，，，数列满足，．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项和．
18. 如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，．
    求证：平面；
    点在线段含端点上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

19. 某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了人的体重数据，结果这人的体重全部介于公斤到公斤之间，现将结果按如下方式分为组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图，并发现这人中，其体重低于公斤的有人，这人体重数据的茎叶图如图所示，以样本的频率作为总体的概率．
    Ⅰ求频率分布直方图中，，的值；
    Ⅱ从全校学生中随机抽取名学生，记为体重在的人数，求的概率分布列和数学期望；
    Ⅲ由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中，若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由
     

20. 已知椭圆的短轴长为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，．
    求椭圆的标准方程；
    设为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点两点异于点，且，证明：直线恒过定点．
21. 已知函数，，是自然对数的底数．
    求函数的最小值；
    若在上恒成立，求实数的值；
    求证：．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
    求曲线和曲线的直角坐标方程；
    设，若曲线与曲线交于，两点，求的值．
23. 已知函数．
    当时，求的解集；
    Ⅱ若不存在实数，使成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
求解一元二次不等式化简，用列举法表示，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
复数在复平面上对应的点为，位于第二象限．
故选：．
由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的几何意义即可求出复数在复平面上对应的点为，位于第二象限．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
直接利用诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在等比数列中，，，
，解得或，
或，
或．
故选：．
由题得，求出，，再求出，再由等比数列的性质求得结果．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
由得，
得，在上的投影．
故选：．
由得，所以在上的投影，求出，代入即可得出答案．
本题考查了向量投影的相关知识，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由抛物线为的性质可知，得，，
可得，
故选：．
由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，再将点的坐标带入抛物线的方程可得参数及的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
幂函数在上为增函数，
，，
，，
．
故选：．
利用对数函数的单调性判断，利用指数函数，幂函数的单调性判断即可．
本题考查三个数大小的求法，注意对数函数，指数函数，幂函数性质的合理运用．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的性质及应用，考查运算求解能力，是基础题．
设，两处的海拔高度分别为，，由可得关于与的关系式，整理求得得答案．

【解答】

解：设，两处的海拔高度分别为，，
则，
，
得
，两处的海拔高度的差约为．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图，得到几何体的直观图如下所示：

该几何体为三棱锥，是由四棱锥截去三棱锥所剩下的部分，
由于，，，，，，
故三角形，三角形，三角形均为直角三角形．，
．
故选：．
由三视图可知该几何体是四棱锥，分别计算各个面的面积求和即可．
本题考查由三视图判断几何体的形状，求解几何体的表面积，判断几何体的性质是解题的关键，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若为真命题，则由，可得，故，
若为真命题，由直线可化为，
则直线所过定点，
因为直线：与圆：有公共点，
所以定点在圆上或圆内，可得，解得，
若为真命题，为假命题，则真假或假真，
即或，解得或．
故选：．
由二次函数的图象与性质和直线与圆的位置关系，分别求得命题，为真命题时，实数的取值范围，结合已知可知真假或假真，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由左焦点在直线上，令，可得，
由题意可得，
设右焦点为，连接，，，由，故为直角三角形，
因为直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，
，则，，
由双曲线定义，则，
所以，双曲线的方程为，
故选：．
由题意左焦点的直线上，可得焦点的坐标，再由可得为直角三角形，可得的值，进而求出的值，求出双曲线的方程．
本题考查双曲线的方程的求法及双曲线的性质的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，且为偶函数，
所以，
故的周期为，故A正确．
由的周期为，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，


由图可知，两个函数图像有个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：．
根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断的正误；分别作出和的图像，即可判断的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断的正误，即可得答案．
本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性与对称性，考查函数的零点与解析式，考查数形结合思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
利用二项式定理即可求解．

【解答】

解：二项式的展开式中含项的系数为，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理可得：，可得：，
，，可得：，
，可得：，
，可得：，
．
故答案为：．
由已知及正弦定理可得，结合，的范围，可求，进而求得，可得，利用余弦定理可求，同角三角函数基本关系式可求，根据三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：作出示意图如图所示：
由，则，则，故的周期，得，
即，且，
可得，且，得，则，得，
故答案为：．
利用三角函数图象与性质可分别求出、．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由正棱锥的性质知：平面，
取中点，连接，作，垂足为，

平面，平面，，
，分别为，中点，，又，，
，平面，，平面，又平面，，
又，，平面，，平面，
则由球的性质可知：为平面截球所得截面圆的圆心，
设为该截面圆与的一个交点，连接，
，，，
，，
又，，
，，
即截面圆的半径，截面圆的面积．
故答案为：．
取中点，连接，作，根据线面垂直的判定与性质可证得平面，由球的性质可确定为所求截面圆的圆心，设为该截面圆与的一个交点，利用勾股定理和等面积法可求得，即截面圆的半径，由此可得所求面积．
本题考查平面截圆所得截面圆面积的求解问题，解题关键是能够通过证明线面垂直，结合球的性质，确定截面圆圆心所在的位置，由此进一步确定截面圆的半径．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，，知，解得，
所以，
又，
所以．
由可知，，
所以，
所以，
得：，
故． 

【解析】由等差数列的通项公式可得关于与的方程组，解之，可得，再由对数的运算法则知；
利用错位相减法，即可求出．
本题考查数列的求和，熟练掌握等差数列的通项公式，对数的运算法则，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：在梯形中，，，
又，，分
分
平面，平面，，分  
 而，
平面分
，平面分
由可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，
令，则，，，，分
，，
设为平面的一个法向量，
由得取，则，分
是平面的一个法向量，

．
，当时，有最小值，分
点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为． 

【解析】在梯形中，通过，求出，通过证明，证明，推出平面，即可证明平面．
由可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，通过向量的数量积，推出平面与平面所成二面角，然后求解二面角的余弦值．
本题考查平面向量的数量积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
 

19.【答案】解：Ⅰ由图知，名样本中体重低于公斤的有人，
用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于公斤的概率为；
所以；
在上有人，该组的频率为，
则，
所以，
即；
Ⅱ用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取人，体重在的概率为，
随机抽取人，相当于次独立重复实验，随机变量服从二项分布，
则，
，
，
；
所以的概率分布列为：

数学期望为；
Ⅲ由题意知服从正态分布，其中；
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的． 

【解析】Ⅰ由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算、、的值；
Ⅱ用由题意知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；
Ⅲ由题意知服从正态分布，计算的值，再判断学生的体重是否正常．
本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，是中档题．
 

20.【答案】解析：由题意，，，
设焦距为，则，，，可得，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为：；
证明：由可得，由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立得，消去得，
，化简整理，得．
则，，
因为，所以，即，
得，即，
整理可得：，
即，整理可得：，
，
得，解得或舍去，
所以直线的方程为，
所以可证得直线恒过定点． 

【解析】由短轴长可得的值，再由向量的数量积可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，由，可得数量积为，整理可得参数的值，可证得直线恒过定点的坐标．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由，得，
易得当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值；
，，
当时，，单调递减，
此时存在，使得，不符合题意；
当时，易得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
要使得在上恒成立，则，
由知，即，当且仅当时取等号，
则，故当时，，此时；
由知，当且仅当时取等号，
令，则，，
即，所以，
令，则，
由知当且仅当时取等号，所以，
令，则，
故，即，所以，
令，则，
综上． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求函数的最小值；
先对求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，从而可求的最大值，结合不等式恒成立与最值关系的相互转化即可求解；
由中的结论，对所得不等式进行合理赋值即可得证．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了由不等式的恒成立求参数范围问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属中档题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
，消去参数可得，，
故曲线的直角坐标方程为，
曲线的极坐标方程为，
则，
，
，
故曲线的直角坐标方程为．
直线过点，
故直线的参数方程为为参数，
将直线的参数方程代入，化简整理可得，，
设，，
则，，
故． 

【解析】消去参数，即可求出曲线的直角坐标方程，结合极坐标公式，即可求出曲线的直角坐标方程．
根据已知条件，结合直线参数方程中的几何意义，即可求解．
本题主要考查参数方程和极坐标方程的应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：Ⅰ当时，，当时，解得；
当时，解得，无解；当时，解得．
综上可得到解集或．
Ⅱ依题意，对，都有，
则有，
故有，或，解得，或舍去，
，即的取值范围为． 

【解析】Ⅰ当时，不等式即，分类讨论求得解集．
Ⅱ依题意可得，对，都有，再根据，可得解不等式求得的范围．
本题主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．