高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线学案含解析

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题．

2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　圆锥曲线的定义及标准方程

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

2．圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆的标准方程为＋＝1，其中a＞b＞0；

(2)双曲线的标准方程为－＝1，其中a＞0，b＞0；

(3)抛物线的标准方程为x2＝±2py，y2＝±2px，其中p＞0．

典例1　(1)(2020·漳州三模)若方程＋＝1表示椭圆，则实数a的取值范围是(　B　)

A．(－20,4)

B．(－20，－8)∪(－8,4)

C．(－∞，－20)∪(4，＋∞)

D．(－∞，－20)∪(－8，＋∞)

(2)(2019·海口调研)已知点M为双曲线C：x2－＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝(　B　)

A．1　　 B．4　

C．6　　 D．8

(3)(2020·茂名二模)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为(　C　)

A．＋y2＝1　　 B．＋＝1

C．＋＝1　　 D．＋＝1

(4)(2020·北京昌平区期末)抛物线y2＝2px上一点M到焦点F(1,0)的距离等于4，则p＝__2__；点M的坐标为__(3，±2)__.

【解析】　(1)∵方程＋＝1表示椭圆，

∴，解得－20<a<4且a≠－8．

故选B．

(2)由a2＝1，b2＝8，得a＝1，c＝3，

则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝|MF1|－|MF2|＋|F1F2|

＝－2a＋2c＝4．故选B．

(3)由题意可得，解得a＝2，b＝，

因为椭圆的焦点在x轴上，所以C的标准方程为＋＝1．

(4)因为焦点F(1,0)，所以p＝2，

设点M，根据抛物线的定义得：＋1＝4，解得y＝±2，

所以点M的坐标为(3，±2)．

圆锥曲线方程的求法

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．

(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．

(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．

1．(1)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知椭圆方程为＋＝1(m>6)，则其焦距为__6__.

(2)(2019·安徽A10联盟最后一卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线上，若点P是抛物线准线上的动点，O为坐标原点，且|AF|＝5，则|PA|＋|PO|的最小值为__2__.

【解析】　(1)∵＋＝1(m>6)，∴c2＝m＋3－(m－6)＝9，∴c＝3,2c＝6．

(2)∵|AF|＝5，∴点A到准线的距离为5，

即点A的横坐标为4，又点A在抛物线上，

∴点A的坐标为(4，±4)，坐标原点关于准线的对称点的坐标为B(－2,0)．

则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PB|≥|AB|＝2.

考点二　圆锥曲线的几何性质

1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，

离心率为e＝＝；

(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，

离心率为e＝＝.

2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．

典例2　(1)(2020·梅州二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为(　B　)

A．－＝1　　 B．－＝1

C．－＝1　　 D．－＝1

(2)(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)设A，F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，B1，B2为椭圆C短轴的两个端点，若点F恰为△AB1B2的重心，则椭圆C的离心率的值为____.

【解析】　(1)由双曲线的方程及渐近线的方程可得：

＝，即3a＝4b，又由题意可得c＝5，且c2＝a2＋b2，

所以解得a2＝16，b2＝9，

所以双曲线的方程为：－＝1，

故选B．

(2)如图：

由题可知，B1(0，b)，B2(0，－b)，A(a,0)，F(c,0)，

则a＝3c，即e＝＝.

圆锥曲线的几何性质的应用

确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是建立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质．

2．(2020·运城三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与曲线x＋|y|＝c(c＝)围成一个面积为的菱形，则双曲线C的方程为(　D　)

A．－＝1　　 B．－＝1

C．x2－＝1　　 D．－y2＝1

【解析】　由题意可得菱形的一个内角为60°，＝，一条对角线的长为c，另一条对角线的长为c，

所以c·c＝，c＝2，而a2＋b2＝c2＝4，

解得：a2＝3，b2＝1，

双曲线C的方程为－y2＝1，

故选D．

3．(2020·青海省玉树州高三联考)已知O为坐标原点，F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过点F的直线在第一象限与椭圆C交于点P，且△POF为正三角形，则椭圆C的离心率为__－1__.

【解析】　因为F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，所以F(c,0)，

又过点F的直线在第一象限与椭圆C交于点P，且△POF为正三角形，边长为＝c，

所以P，代入＋＝1可得：

＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，

解得e2＝4±2，因为0<e<1，所以e2＝4－2，

故e＝－1．

考点三　直线与圆锥曲线的位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系

1．位置关系判断：

直线与圆锥曲线方程联立，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0，在双曲线中，A＝0时直线与渐近线平行或重合)，设其判别式为Δ.

(1)相交：Δ>0⇔直线与曲线相交；

(2)相切：Δ＝0⇔直线与曲线相切；

(3)相离：Δ<0⇔直线与曲线相离．

2．弦长公式：

(1)若直线y＝kx＋b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1，x2分别为A、B的横坐标，则|AB|＝|x1－x2|，若y1，y2分别为A、B的纵坐标，则|AB|＝|y1－y2|，若弦AB所在直线方程设为x＝ky＋b，则|AB|＝·|y1－y2|.

(2)焦点弦：过焦点的弦，椭圆与双曲线的最短的焦点弦为通径：；若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝x1＋x2＋p，x1x2＝，y1y2＝－p2．

考向1　直线与圆锥曲线的位置关系

典例3　(2020·马鞍山二模)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆F，圆F与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C.

(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；

(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．

【解析】　(1)由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，

再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，

xB＝，代入抛物线的方程可得yB＝p，

所以圆的半径R＝p.

(2)直线AB与抛物线E相切．

由(1)知A，|AF|＝p，B，C，

则直线AB：y＝x＋，联立

，整理得x2－px＋＝0，

∴△＝p2－p2＝0，

∴直线AB与抛物线相切．

判断直线与圆锥曲线的位置关系的两种常用方法

(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，从而判断直线与圆锥曲线的关系．

(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数，从而判断直线与圆锥曲线的关系．

考向2　与弦的中点有关的问题

典例4　(2019·武汉调研)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A、B两点，若P为AB中点，则|AB|＝(　D　)

A．2　　 B．2　

C．3　　 D．4

【解析】　易知直线AB不与y轴平行，

设其方程为y－2＝k(x－4)，

代入双曲线C：－y2＝1，

整理得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0，

设此方程两实根为x1，x2，

则x1＋x2＝，

又P(4,2)为AB的中点，

所以＝8，

解得k＝1．

当k＝1时，直线与双曲线相交，

即上述二次方程的Δ＞0，

所求直线AB的方程为y－2＝x－4化成一般式为

x－y－2＝0．x1＋x2＝8，x1x2＝10，

|AB|＝|x1－x2|＝·＝4.

故选D．

圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率

其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．

考向3　直线与圆锥曲线的相交弦问题

典例5　(2020·三明模拟)设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．

【解析】　(1)双曲线的离心率为，

由题意可得椭圆的离心率e＝＝，

由2a＝4，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，

故椭圆M的方程为＋＝1．

(2)联立方程，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，

由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，

得－2＜m＜2.且，

所以|AB|＝＝·＝·＝·.

又P到直线AB的距离为d＝，

所以S△PAB＝|AB|d

＝··＝＝·≤·＝.

当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，

所以(S△PAB)max＝.

直线与圆锥曲线的相交弦的弦长

解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，则弦长|AB|＝＝·＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝求解．

4．(1)(2019·昆明统测)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为(　D　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

(2)(2020·天津一模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，其准线过(－2,2)，过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p＝__4__；弦AB的长为____.

【解析】　(1)直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝＝c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝2＋c2⇒a2＝c2⇒c＝a⇒e＝.故选D．

(2)由条件可得准线方程为＝2，则p＝4，则抛物线方程为y2＝8x，

所以F(2,0)，直线方程为y＝(x－2)，代入抛物线方程可得3x2－20x＋12＝0，

则有xA＋xB＝，xAxB＝4，

所以AB＝·＝2×＝.

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．直线和圆锥曲线的位置关系中忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错

典例1　过双曲线x2－＝1的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且＝4，则这样的直线有__3__条．

【错解】　4条．过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称)；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称)，所以共4条．

【剖析】　实际上，通过计算可知，过右焦点且与x轴垂直的弦AB(即通径)为＝＝4，恰好为所需长度，因此过右焦点的直线与右支相交于A、B两点时，仅有一条满足条件．

【正解】　过右焦点且与x轴垂直的弦AB(即通径)为＝＝4，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称)，所以共3条．

2．以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况

典例2　过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　C　)

A．1条　　 B．2条　

C．3条　　 D．0条

【错解】　设直线的方程为y＝kx＋1，联立，得(kx＋1)2＝4x，

即：k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，再由Δ＝0，得k＝1，得答案A．

【剖析】　本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k＝0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条．

【正解】　C．由上述分析，y轴本身即为一切线，满足题意；解方程k2x2＋(2k－4)x＋1＝0时，若k＝0，即直线y＝1也与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，又k＝1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C．

典例3　双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__(1,3]__.

【错解】　如图，

设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ<π)，由条件得|PF1|＝2m，|

F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.

所以e＝＝＝.

又－1<cos θ<1，所以e∈(1,3)．

【剖析】　漏掉了P在x轴上的情况，即∠F1PF2＝π时的情况．

【正解】　设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，

当点P在右顶点处时，θ＝π.当点P不在顶点时，0<θ<π.

由条件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.

所以e＝＝＝.

又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]．

3．忽视“判别式”致误

典例4　已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【错解1】　设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为

y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，

整理得(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，

设直线与双曲线交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝.

点A(1,1)是弦中点，则＝1．

∴＝1，解得k＝2．

故所求直线方程为2x－y－1＝0．

【错解2】　设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则

式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③

因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以

将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝(y1－y2)．

若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2．

所以符合题设条件的直线的方程为2x－y－1＝0．

【剖析】　没有判断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交．

【正解1】　设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为

y＝k(x－1)＋1．代入双曲线方程x2－＝1，整理得，

(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0．

由

解得k<，且k≠±2．

设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝.

点A(1,1)是弦中点，则＝1．

∴＝1，解得k＝2>，故不存在被点A(1,1)平分的弦．

【正解2】　设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则

式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③

因为点A(1,1)为线段PQ的中点，所以

将式④、⑤代入式③得x1－x2＝(y1－y2)．

若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2．

所以直线l的方程为2x－y－1＝0，

再由得2x2－4x＋3＝0．

根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．