2023届高考数学二轮复习专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案，共14页。学案主要包含了易错提醒，二级结论，素养提升等内容，欢迎下载使用。

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线

考情分析
高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．

自主先热身　真题定乾坤
ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身
1．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　B　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1
C．＋＝1　　 D．＋y2＝1
【解析】　因为离心率e＝＝＝，
解得＝，b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，
B为上顶点，所以B(0，b).
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，
因为·＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，
解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆的方程为＋＝1.故选B.
2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　B　)
A．2　　 B．2　　
C．3　　 D．3
【解析】　由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，
所以点A的横坐标为－1＋2＝1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1，2)，
所以|AB|＝＝2.故选B.
3．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　A　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
【解析】A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，
则kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝·＝＝，
又＋＝1，则y＝，
所以＝，即＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A.
4．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝____．
【解析】　双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，
解得m＝或m＝－(舍去).
故答案为.
5．(2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__y＝±x__.
【解析】　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
故答案为y＝±x.
6．(2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是__13__．
【解析】　设椭圆的焦距为2c，F1，F2分别为左、右焦点，
∵椭圆的离心率e＝，∴a＝2c，b＝c，
∴＝，
∴椭圆方程设为＋＝1，直线AF2的斜率kAF2＝－，
∵直线DE⊥AF2，∴kDE·kAF2＝－1，
∴kDE＝，
设直线DE的方程为y＝(x＋c)，
D(x1，y1)，E(x2，y2)，
联立消去y整理得：
13x2＋8cx－32c2＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|DE|＝·
＝×＝，
又∵|DE|＝6，∴＝6，∴c＝，
连接AF1，则|AF1|＝a＝2c＝，|F1F2|＝2c＝，
∴|AF1|＝|F1F2|，
∴直线DE为线段AF2的垂直平分线，连接EF2，DF2，则四边形ADF2E为轴对称图形，
∴△ADE的周长＝|DE|＋|AE|＋|AD|＝|DE|＋|EF2|＋|DF2|＝4a＝8c＝13.

感悟高考
圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．

核心拔头筹　考点巧突破
HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　
考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程

1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
典例1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1、F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　D　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1
C．＋＝1　　 D．＋＝1
【解析】椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1、F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，
椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)不论α取何实数，方程x2＋2y2sinα＝1所表示的曲线必不是(　A　)
A．抛物线　　 B．圆
C．直线　　 D．双曲线
【解析】若sin α＝0，则方程为x2＝1，它表示两条直线；
若sin α≠0，则方程可化为＋＝1，
若sin α＜0，则它表示焦点在x轴上的双曲线；
若01，则它表示焦点在y轴上的椭圆；
若sin α＝，则＝1，则它表示圆；
若sin α>，则0<<1，则它表示焦点在x轴上的椭圆，
故选A.
【易错提醒】求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．

1．(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　)
A．13　　 B．12　　
C．25　　 D．16
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(m>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝，且|AF1|＝3|AF2|，则m＝__2__．
【解析】(1)由椭圆C：＋＝1的方程可得a2＝25，可得a＝5，
由均值不等式可得|MF1|·|MF2|≤，
而由椭圆的定义可得：|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
所以|MF1|·|MF2|≤25，即|MF1|·|MF2|的最大值为25，
故选C.
(2)由双曲线的方程可得：双曲线的实半轴长a＝m，设半焦距c，则c2＝2m2＋5，
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2|AF2|＝2a，
∴|AF2|＝a＝m，|AF1|＝3m，
在△F1AF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|F1A|2＋|F2A|2－2|F1A||F2A|cos ∠F1AF2，
即8m2＋20＝9m2＋m2－2×3m×m×，
解得m＝2，
故答案为2.
考点二　圆锥曲线的几何性质

1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
典例2 (1)(2022·芜湖市高三模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，作直线l交C的两条渐近线于A，B两点，A，B均位于y轴右侧，且满足＝，O为坐标原点，若∠OBA＝60°，则双曲线C的离心率为(　D　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
【解析】设|BF|＝m，|AF|＝m，
渐近线与x轴所成角的为θ，在△OAF、△OBF中，
分别由正弦定理可得：
＝，＝，
两式相除可得：＝，
即sin (120°－2θ)＝，解得θ＝45°，
从而得到tan θ＝＝1，
离心率e＝＝＝.
故选D.

(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为(　B　)
A．　　 B．4　　
C．7　　 D．8
【解析】由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1，0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，

由图形可知|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，
根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，
∴|MM′|＝|AB|，联立
得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴|MM′|＝4.
【二级结论】抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角).
(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)＋＝.

2．(1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于(　D　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
(2)双曲线－＝1(0＜m＜1)的左、右焦点分别为F1、F2，P为圆x2＋y2＝1与该双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为(　A　)
A．1－m　　 B．m　　
C．2m－1　　 D．1
【解析】(1)抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－，
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得

解得y＝±，可得|AB|＝，
由△ABF为等边三角形，可得p＝·，
即有＝＝，
则e＝＝＝＝.
(2)由双曲线方程－＝1(0＜m＜1)得F1(－1，0)，F2(1，0)，

F1F2恰为圆x2＋y2＝1的直径，所以得PF1⊥PF2，由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4.
∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|2＋|PF2|2)－(||PF1|－|PF2||)2＝4－4m，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1－m.
故选A.
考点三　直线与圆锥曲线的位置关系

解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：
(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线的方程与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．
典例3(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0 (1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
【解析】(1)由题设可得＝，得m2＝，
所以C的方程为＋＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，
根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5，0)，
直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝yP，|BQ|＝.
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8，
所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8).
所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，
点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，
故△AP1Q1的面积为××＝；
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，
点A到直线P2Q2的距离为，
故△AP2Q2的面积为××＝.
综上，△APQ的面积为.
【素养提升】解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)注意使用圆锥曲线的定义．
(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．
(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．
(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．

3．(1)(2021·南京二模)直线x－y＝0与双曲线2x2－y2＝2有两个交点为A，B，则|AB|＝(　C　)
A．2　　 B．2　　
C．4　　 D．4
(2)(2022·四川广元模拟)已知抛物线：x2＝2py(p＞0)的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且·＝－3，过抛物线上一点P(非原点)作抛物线的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，PH⊥l.垂足为H.下列命题：
①抛物线的标准方程为x2＝4y；
②△OMN的面积为定值；
③M为PN的中点；
④四边形PFNH为菱形．
其中所有正确结论的编号为(　A　)
A．①③④　　 B．①④
C．①②③　　 D．②③
【解析】(1)把y＝x代入双曲线2x2－y2＝2，整理得x2＝2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＝－，x2＝，
y1＝－，y2＝，
则|AB|＝＝4.
故选C.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可知F，直线AB的方程为y＝kx＋，
联立化为x2－2pkx－p2＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，
而y1y2＝＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－3，
所以p＝2，故抛物线方程为x2＝4y，故①正确；
设P(x0，y0)，抛物线方程为y＝，则y′＝x，
则在P点处取得的切线方程斜率为y′|x＝x0＝，
所以以P点为切点的切线方程为y＝x－y0，
切线与x轴、y轴分别交于点M，N.
所以M，N(0，－y0)，
所以S△OMN＝|OM||ON|＝××|－y0|＝＝，
故面积不为定值，故②错误；

因为M、P(x0，y0)、N(0，－y0)，
可知所以M为PN的中点，故③正确；
因为PH⊥l，垂足为H，所以H(x0，－1)、N(0，－y0)、F(0，1)、P(x0，y0)，
因此|FN|＝|PH|且FN∥PH，所以四边形PFNH为平行四边形，
又根据抛物线定义|PH|＝|PF|，故四边形PFNH为菱形，故④正确．
故正确结论编号为①③④.
故选A.