高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题七第1讲选修4_4坐标系与参数方程学案含解析

第1讲　选修4－4：坐标系与参数方程

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

坐标系与参数方程是高考选考内容之一，高考对本讲的考查内容有：

(1)直线与圆的极坐标方程以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．

(2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数方程与普通方程的互化．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　极坐标方程及其应用

1．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0．

几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos  θ；

(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.

2．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

(3)直线过点M且平行于极轴：ρsin θ＝b.

典例1　(2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2acosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.曲线C1与曲线C2交于M，N两点．

(1)若a＝2，求|MN|的值．

(2)若a＝4－2，求∠MON的大小．

【解析】　(1)由ρ＝2acosθ，得ρ2＝2aρcosθ，

∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，

∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2，

由ρ＝，得ρ(sin θ＋cos θ)＝2，

即C2的直角坐标方程为x＋y＝2．

当a＝2时，直线C2经过C1的圆心，∴|MN|＝2a＝4．

(2)由，得cos θ(cos θ＋sin θ)＝＝，

∴(cos 2θ＋1)＋sin 2θ＝，得sin(2θ＋)＝.

结合图形可知2θ1＋＝，2θ2＋＝，

θ1＝－，θ2＝－，

得∠MON＝θ2－θ1＝.

(1)求曲线的极坐标方程的一般思路

求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键．

(2)解决极坐标问题的一般思路

一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．

1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ＝4sin θ，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)求曲线C1与C2的直角坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C3与C1和C2的交点分别为M，N，求|MN|.

【解析】　(1)根据，

所以：ρ＝4sin θ，整理得ρ2＝4ρsin θ，

∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．

同理：根据由ρ＝4cos θ，整理得ρ2＝4ρcos θ，

∴曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0．

(2)联立，得ρM＝2，

联立，得ρN＝2，

故|MN|＝|ρM－ρN|＝2－2．

考点二　参数方程及其应用

几种常见的参数方程

(1)圆

以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 其中α是参数．

当圆心为(0,0)时，方程为其中α是参数．

(2)椭圆

椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是 其中φ是参数．

椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是 其中φ是参数．

(3)直线

经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

典例2　(2020·河南模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求曲线C和直线l的一般方程；

(2)已知点P(1,0)，直线l和曲线C交于A，B两点，若|PA|·|PB|＝，求直线l的一般方程．

【解析】　(1)由曲线C的参数方程为(α为参数)，消去参数α，

可得曲线C的一般方程为＋＝1．

由直线l的参数方程为(t为参数)．

当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·(x－1)；

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1．

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，

整理得关于t的方程(4sin2α＋3cos2α)t2＋6cos α·t－9＝0，

设A，B对应的参数为t1，t2，

则t1·t2＝，

∴|PA|·|PB|＝＝，解得tan2α＝3．

∴tan α＝±.

于是直线l的方程为x－y－＝0或x＋y－＝0．

参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用

(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．

(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．

2．(2020·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(φ为参数)．若直线l被椭圆C所截得的弦长为，求实数m的值．

【解析】　椭圆C的参数方程为(φ为参数)，转化为直角坐标方程为＋y2＝1．

将直线的参数方程代入＋y2＝1中，

得(m＋t)2＋4×(t)2－4＝0，

∴t2＋mt＋m2－4＝0，

由Δ＝2m2－4××(m2－4)＞0，解得－<m<.

则t1＋t2＝－，t1t2＝，

所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝.

由于直线l截弦长为，即＝，

解得m＝±2．

考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用

解决极坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可．化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决．

典例3　(2020·南平三模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l1的参数方程为(t为参数)，＜α＜π，点A为直线l1与曲线C在第二象限的交点，过O点的直线l2与直线l1互相垂直，点B为直线l2与曲线C在第三象限的交点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程及直线l1的普通方程；

(2)若|OA|＝|OB|，求△OAB的面积．

【解析】　(1)由ρ＝，得ρ－ρcos θ＝2，∴ρ2＝(ρcos θ＋2)2，

∵x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝(x＋2)2，即y2＝4(x＋1)．

由(t为参数)，＜α＜π，

消去参数t，可得y＝x·tan α，＜α＜π.

∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4(x＋1)，直线l1的普通方程为y＝x·tan α，＜α＜π.

(2)设OA的极坐标方程为θ＝α(＜α＜π)，则|OA|＝，

射线OB的极坐标方程为θ＝α＋(＜α＜π)，则|OB|＝＝.

由|OA|＝|OB|，得＝，解得α＝.

∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·＝12－8.

解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点

(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．

(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．

(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

3．(2020·海东市模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin θ－ρcos θ＝3．

(1)求直线l与曲线C的普通方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点P(－3,0)，求＋的值．

【解析】　(1)因为2ρsin θ－ρcos θ＝3，根据，转化为直角坐标方程为：2y－x＝3，

所以直线l的普通方程为x－2y＋3＝0(或y＝x＋)．

因为曲线C的参数方程(α为参数)，

所以曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝9．

(2)由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程(x－2)2＋y2＝9．

得t2－4t＋16＝0，

则t1＋t2＝4，t1t2＝16，

故＋＝＝＝＝.

4．(2020·香坊区校级三模)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(其中t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.

(1)求C1和C2的直角坐标方程；

(2)设点P(0,1)，直线C1交曲线C2于A，B两点，求|PA|2＋|PB|2的值．

【解析】　(1)直线C1的参数方程为(其中t为参数)．由已知得C1的直角坐标方程为y＝－2x＋1．

曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.根据，转化为直角坐标方程为：x2＝y.

(2)将直线C1的参数方程代入C2直角方程得：t2－2t－5＝0，

不妨设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则Δ＞0恒成立，

所以t1＋t2＝2，t1t2＝－5，

又因为P(0,1)，

所以由参数t的几何意义得：|PA|2＋|PB|2＝t＋t＝(t1＋t2)2－2t1t2＝30，

∴|PA|2＋|PB|2＝30．