高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第1讲直线与圆学案含解析

专题五　解析几何

第1讲　直线与圆

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点．

2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　直线的方程

1．直线方程的五种形式

(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．

(2)斜截式：y＝kx＋b.

(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．

(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．

(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．

2．三种距离公式

(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：

|AB|＝.

(2)点P到直线l的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线l的方程：Ax＋By＋C＝0)．

(3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．

3．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

典例1　(1)(2020·三明模拟)已知直线mx＋2y＋3＝0与直线3x＋(m－1)y＋m＝0平行，则实数m(　A　)

A．－2　　 B．3

C．5　　 D．－2或3

(2)(2020·九江三模)若直线x＋(a－1)y＋1＝0与直线ax＋2y－1＝0互相垂直，则实数a＝(　B　)

A．　　 B．　

C．－1　　 D．2

(3)(2020·松江区二模)若O为坐标原点，P是直线x－y＋2＝0上的动点，则|OP|的最小值为(　B　)

A．　　 B．　

C．　　 D．2

【解析】　(1)∵直线mx＋2y＋3＝0与直线3x＋(m－1)y＋m＝0平行，

∴＝≠，求得m＝－2，

故选A．

(2)根据题意，直线x＋(a－1)y＋1＝0与直线ax＋2y－1＝0互相垂直，

则有a＋2(a－1)＝0，解得a＝，

故选B．

(3)原点到直线的距离d＝＝，

故|OP|的最小值为，

故选B．

求解直线方程应注意的问题

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．

(2)要注意几种直线方程的局限性，点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．

1．(1)(2019·淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分又不必要条件

(2)(2019·保定二模)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　A　)

A．2　　 B．

C．2　　 D．

【解析】　(1)当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；

若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，

所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，

综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件．故选A．

(2)依据题意作出图形如下：

设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，

则它们的中点坐标为，且|PB|＝|PB1|，

由对称性可得，

解得a＝4，b＝2，所以B1(4,2)．

因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，

所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，

此时最小值为|AB1|＝＝2.

故选A．

考点二　圆的方程

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2．

2．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)表示以为圆心，为半径的圆．

典例2　(1)(2020·朝阳区二模)圆心在直线x－y＝0上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是(　A　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2　　 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2020·北京房山区期末)已知两点A(2,0)，B(0,2)，则以线段AB为直径的圆的方程为__(x－1)2＋(y－1)2＝2__.

【解析】　(1)根据题意，所求圆的圆心在直线x－y＝0上，则设所求圆的圆心的坐标为(m，m)，

又由所求圆与y轴相切于点(0,1)，则圆心在直线y＝1上，

则m＝1，所求圆的半径r＝1，

故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；

故选A．

(2)直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，

∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．

求圆的方程的两种方法

(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径．

(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

2．(2020·昆山市期中)在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(－4,0)，B(－4,2)，C(0,2)，则矩形OABC的外接圆方程是(　B　)

A．x2＋y2－4x＋2y＝0　　 B．x2＋y2＋4x－2y＝0

C．x2＋y2－8x＋4y＝0　　 D．x2＋y2＋8x－4y＝0

【解析】　矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(－4,0)，B(－4,2)，C(0,2)，

所以OB的中点为M(－2,1)，r＝|OB|＝＝；

所以矩形OABC的外接圆方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，

化为一般式方程为x2＋y2＋4x－2y＝0．

故选B．

3．(2020·江西模拟)圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为(　B　)

A．x2＋y2－2x－3＝0　　 B．x2＋16x＋y2＋39＝0

C．x2－16x＋y2－39＝0　　 D．x2＋y2－4x＝0　

【解析】　设圆心为(a,0)(a＜0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离为d＝＝＝4，解得a＝－8，

则圆C的方程为(x＋8)2＋y2＝25，即为x2＋16x＋y2＋39＝0．

考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系的判定

(1)几何法

把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．

(2)代数法

将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，消元后得到一元二次方程，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．

2．圆与圆的位置关系的判定

(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；

(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；

(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；

(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；

(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．

典例3　(1)(2020·天津市部分区期末)直线x－y＋1＝0与圆x2＋(y＋1)2＝4相交于A、B，则弦AB的长度为(　B　)

A．　　 B．2　

C．2　　 D．4

(2)(2020·武昌区模拟)若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是(　D　)

A．　　 B．

C．　　 D．

(3)(2020·徐汇区一模)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是(　D　)

A．(－9,11)

B．(－25，－9)

C．(－∞，－9)∪(11，＋∞)

D．(－25，－9)∪(11，＋∞)

(4)(2020·中山区校级一模)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x＋y－3＝0相切，则圆C面积的最小值为(　D　)

A．π　　 B．π　

C．π　　 D．π

【解析】　(1)圆心到直线的距离d＝＝，

所以|AB|＝2＝2＝2.故选B．

(2)直线y＝kx＋1过定点P(0,1)，作出直线与圆如图：

当直线过P(0,1)与A(4,0)时，k＝－；

由圆心(2,0)到直线kx－y＋1＝0的距离等于2，得＝2，解得k＝.

∴若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，

则k的取值范围是.

故选D．

(3)化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，

则k＞－25，圆心坐标为(3,4)，半径为，

圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1．

要使圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，

则|C1C2|>＋1或|C1C2|＜－1，

即5＞＋1或5<－1，

解得－25＜k＜－9或k＞11．

∴实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．

故选D．

(4)∵AB为直径，∠AOB＝90°，

∴O点必在圆C上，

由O向直线3x＋y－3＝0作垂线，垂足为D，

则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，

此时圆的直径为O(0,0)到直线3x＋y－3＝0的距离d＝，

∴此时圆的半径r＝d＝，

∴圆C面积最小值Smin＝πr2＝π·2＝π.

故选D．

1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路

(1)研究直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和圆的半径实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆圆心距与两半径差与和的比较．

(2)利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：先将直线方程设为点斜式，再利用圆心到直线的距离等于半径求斜率．

2．弦长的求解方法

(1)根据半径，弦心距，弦长的一半构成的直角三角形，得到三者间的关系R2＝d2＋(其中l为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．

(2)根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．

4．(2020·四川模拟)已知直线l经过圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l′，则直线l′被圆C截得的弦长为(　B　)

A．4　　 B．2　

C．2　　 D．1

【解析】　由题意知，PC＝2．如图，设l′与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，PH＝PCcos 30°＝，故直线l′被圆C截得的弦长|PQ|＝2.故选B．

5．(2020·江苏一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＝8与圆C2：x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为__{8,8－2，8＋2}__.

【解析】　已知圆C1：x2＋y2＝8与圆C2：x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A、B两点，

则AB所在直线的方程为2x＋y－a＋8＝0，

若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：

①P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，

即直线2x＋y－a＋8＝0经过圆C1的圆心C1，必有－a＋8＝0，解可得a＝8；

②A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，

则有d＝＝2，解可得a＝8－2或8＋2，

综合可得：a的取值的集合为{8,8－2，8＋2}．

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．忽视对斜率为零或不存在等特殊情况的讨论致误

典例1　a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？

(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？

【错解】　(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－x＋，y＝x－，

∴当－＝且≠－时，即a＝时，两线平行．

(2)当－＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a为何值时，两直线都不垂直．

【剖析】　(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；

(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4斜率为0也符合这种情况．

【正解】　(1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2．

②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，

直线l1的斜率为k1＝－，

直线l2的斜率为k2＝，

要使两直线平行，必须

解得：a＝.

∴a的值为0或

(2)若两条直线垂直则：2a＋2a＝0，解得：a＝0．

2．忽视圆的一般方程中的隐含条件致误

典例2　已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．

【错解】　将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝.

∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.

当点A在圆外时，过点A可以作圆的两条切线，

∴|AC|>r，即>，

化简得a2＋a＋9>0，△＝1－4×9＝－35<0．

∴a∈R.

【剖析】　二元二次方程表示圆是有条件的，必须有D2＋E2－4F>0．本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时，可以直接判断D2＋E2－4F>0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2．

【正解】　由题意知

解得－<a<.

3．在求直线方程时数字与代数式运算出错

典例3　已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等，且过二直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，则直线l的方程为__x－6y＋11＝0或x＋2y－5＝0__.

【错解】　先联立两直线求出它们交点为(1,2)，设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的距离相等建立方程得＝⇔k＝－，所以所求直线为x＋2y－5＝0．

【剖析】　显然，解方程时漏了一根，含绝对值的方程应讨论(或平方)求解，一般有两根．

【正解】　x－6y＋11＝0或x＋2y－5＝0．联立直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的方程得它们的交点坐标为(1,2)，令过点(1,2)的直线l为：y－2＝k(x－1)(由图形可看出直线l的斜率必然存在)，由点到直线的距离公式得：＝⇔k＝，k＝－，所以直线l的方程为：x－6y＋11＝0或x＋2y－5＝0．

4．直线和圆的位置关系应用时运算方法选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错

典例4　已知圆(x－3)2＋y2＝4和直线y＝mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则|OP|·|OQ|的值为__5__.

【运算繁杂的解法】　联立直线方程y＝mx与圆的方程(x－3)2＋y2＝4消y，得关于x的方程(1＋m2)x2－6x＋5＝0，令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，则y1y2＝m2x1x2＝，由于向量与向量共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以·＝·＝x1x2＋y1y2＝＋＝5．

【剖析】　上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂．下面的解法简洁明了．

【正解】　法一：根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT(切点为T)，由勾股定理，则·＝OT2＝32－22＝5．

法二：令m＝0，则|OP|＝1，|OQ|＝5，故|OP|·|OQ|＝5．