高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析

第3讲　圆锥曲线的综合应用

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．

2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　圆锥曲线中的最值、范围问题

典例1　(2020·青海省玉树州高三联考)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)相切．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

【解析】　(1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得：y2－2py＋2p＝0，

∵l与C相切，∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，

∴抛物线C的方程为：y2＝4x.

(2)由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x＝ty＋1，

联立得：y2－4ty－4＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，

∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，

∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．

设A，B，M到直线l距离分别为dA，dB，dM，

则dA＋dB＝2dM＝2·＝2＝2，

∵(t－)2＋≥，

∴当t＝时，min＝，

∴A，B两点到直线l的距离之和的最小值为：2×＝.

求解范围、最值问题的五种方法

(1)利用判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；

(3)利用隐含的不等关系，求出参数的取值范围；

(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法，确定参数的取值范围．

1．(2020·北京昌平区期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M(0，)在椭圆C上，焦点为F1，F2，圆O的直径为F1F2．

(1)求椭圆C及圆O的标准方程；

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于A，B两点．记△OAB的面积为S，证明：S<.

【解析】　(1)由题意，椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．

可得，解得

所以椭圆C的方程为＋＝1．

因为焦点在x轴上，

所以椭圆C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)．

所以直径为F1F2的圆O的方程为x2＋y2＝6．

(2)由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，

设直线l的斜截式方程为y＝kx＋m(k<0，m>0)．

因为直线l与圆O相切，

所以点O到直线l的距离为d＝＝.

即m2＝6k2＋6．

因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，

由，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

.

因为Δ＝(8km)2－4×(1＋4k2)(4m2－8)＝16×(8k2－m2＋2)．

又m2＝6k2＋6，

所以Δ＝32(k2－2)>0．

所以k2>2．

又因为k<0，

所以k<－.

因为＝＝4，

所以SΔOAB＝|AB|·d＝×4××

＝4×.

设1＋4k2＝t，则t>9，则

SΔOAB＝4×＝×.

令u＝，0<u<.

则SΔOAB＝×.

设h(u)＝－27u2－6u＋1＝－272＋.

因为h(u)在上单调递减，

所以h(u)<1．

所以SΔOAB<.

考点二　圆锥曲线中的定点、定值问题

考向1　定点问题

典例2　(2020·韶关二模)在直角坐标系xOy中，已知点A(－2,2)，B(2,2)，直线AM，BM交于M，且直线AM与直线BM的斜率满足：kAM－kBM＝－2．

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于－2，证明：直线l过定点．

【解析】　(1)设M(x，y)，又A(－2,2)，B(2,2)，

则kAM－kBM＝－＝＝－2，

可得x2＝2y(x≠±2)，

则M的轨迹C的方程为x2＝2y(x≠±2)．

(2)证明：设P(m，)，Q(n，)，m，n≠±2，

又A(－2,2)，可得kAP·kAQ＝·＝·＝－2，

即有mn－2(m＋n)＝－12，即mn＝2(m＋n)－12，

直线l的斜率为kPQ＝＝，

可得直线l的方程为y－＝(x－m)，

化为y＝x－，

可得y－6＝(x－2)，

可得直线l恒过定点(2,6)．

直线过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线l过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．

(2)动曲线C过定点问题的解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

考向2　定值问题

典例3　(2020·辽宁三模)已知圆锥曲线＋＝1过点A(－1，)，且过抛物线x2＝8y的焦点B.

(1)求该圆锥曲线的标准方程；

(2)设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为(，0)点E的坐标为(0，)，直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|·|EM|为定值．

【解析】　(1)抛物线x2＝8y的焦点B(0,2)，

将点A(－1，)，B(0,2)代入方程得：，

解得，

∴圆锥曲线的标准方程为：＋＝1．

(2)证明：由(1)可知，该圆锥曲线为椭圆，且D(，0)，E(0,2)，

设椭圆上一点P(x0，y0)，则

直线PD：y＝(x－)，令x＝0，得yM＝，

∴|EM|＝；

直线PE：y＝x＋2，令y＝0，得xN＝，

∴|DN|＝.

∴|DN|·|EM|＝·＝

·

＝

＝.

∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y＋2x＝4．

代入上式得：

|DN|·|EM|＝

＝＝4.

故|DN|·|EM|为定值．

求解定值问题的两大途径

(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明其是定值，即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．

(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的条件得出参数之间满足的关系式，使正负项抵消或分子、分母约分得定值．

2．(2019·内江三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＋y－＝0与圆x2＋y2＝b2相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P，过点(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：·为定值．

【解析】　(1)∵椭圆C的离心率为，∴a＝c，

∵直线x＋y－＝0与圆x2＋y2＝b2相切，

∴b＝＝1，

∴a＝c＝b＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l与x轴不重合时，设l的方程：x＝my＋1．

由得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，

，

∴x1＋x2＝，x1x2＝＋1，

·＝·

＝x1x2－(x1＋x2)＋＋y1y2

＝＋＝－.

当直线l与x轴重合时，·＝·＝－2＝－.

∴故·为定值－.

考点三　圆锥曲线中的存在性问题

典例4　(2020·凉山州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右顶点A(2,0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2＝60°，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．

【解析】　(1)由题意得：a＝2，

∵∠F1BF2＝60°，

∴在Rt△OBF2中，∠OBF2＝30°，|OB|＝b，|OF2|＝c，

∴|BF2|＝a，∴cos 30°＝，∴＝，b＝，

∴椭圆方程为＋＝1．

(2)法一：设直线AD：y＝k(x－2)(k≠0)，*

令x＝0，则y＝－2k，∴E(0，－2k)，

将*代入＋＝1，

整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，

设D(x0，y0)，则2＋xD＝，∴xD＝，

yD＝k(－2)＝－，

设P(xp，yp)，∵P为AD的中点，

∴xp＝＝，yp＝＝－，

∴＝，

设存在Q(x0，y0)使得OP⊥EQ，则＝(x0，y0 ＋2k)，·＝0，

∴－＝0，即＝0对任意的k≠0都成立，

∴，∴x0＝，

∴存在Q使得OP⊥EQ.

法二：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，P(x0，y0)，

∴＋＝1　(1)，＋＝1　(2)，

由(1)－(2)，得＋＝0，

∵P为AD中点，∴＋·＝0

∵kAD＝＝k(k≠0)，∴＋·k＝0，

∵＝kOP，∴kOP＝－，

设存在Q(x3，y3)使得OP⊥EQ，

则＝－＝，即2k(2x3－3)－3y3＝0，

对任意k≠0都成立，即x3＝，y3＝0，

∴存在Q使得OP⊥EQ.

探索性问题的解题策略

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．

3．(2019·湛江二模)已知动圆P过定点F，且和直线x＝－相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线C，过点Q(4，－2)的直线与曲线C交于A，B两个不同的点．

(1)求曲线C的方程；

(2)在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．

【解析】　(1)设动圆圆心P到直线x＝－的距离为d，

根据题意，d＝|PF|，

∴动点P形成的轨迹是以F为焦点，

以直线x＝－为准线的抛物线，

∴抛物线方程为y2＝2x.

(2)根据题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线lAB的方程为：x＝n(y＋2)＋4，代入抛物线方程，

整理得y2－2ny－4n－8＝0，Δ＝4n2＋16(n＋2)＝4(n2＋4n＋8)>0，

y1＋y2＝2n，y1y2＝－4n－8，

若假设抛物线上存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N，

设N(x0，y0)，则y＝2x0，

kNA＝＝＝，

同理可得kNB＝，

kNAkNB＝·＝

＝＝－1，

∴(2y0－4)n＋y－4＝0，

∴解得y0＝2，x0＝2，

∴在曲线C上存在定点N(2,2)，

使得以AB为直径的圆恒过点N.

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．忽视各变量间的制约条件致误

典例1　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的圆上，求m的取值范围．

【错解】　由已知，得

解之得a2＝3，b2＝1，所以双曲线方程为－y2＝1．

将直线y＝kx＋m代入双曲线方程，并整理得

(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，

所以Δ＝m2＋1－3k2>0．①

设CD中点为P(x0，y0)，则AP⊥CD，

且易知：x0＝，y0＝.

所以kAP＝＝－⇒3k2＝4m＋1．②

将式②代入式①，得m2－4m>0，解得m>4或m<0．

故所求m的范围是m∈(－∞，0)∪(4，＋∞)．

【剖析】　在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将k2＝代入式①时，m受k的制约．

【正解】　由已知，有

解之得a2＝3，b2＝1．所以双曲线方程为－y2＝1．

将直线y＝kx＋m代入双曲线方程，

并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，

所以Δ＝m2＋1－3k2>0．①

设CD中点为P(x0，y0)，则AP⊥CD，

且易知：x0＝，y0＝.

所以kAP＝＝－.

∴3k2＝4m＋1．②

将式②代入式①，得m2－4m>0，解得m>4或m<0．

因为k2>0，所以m>－.

故所求m的范围应为m>4或－<m<0．

2．求解圆锥曲线的综合问题时忽视“相交”的限制

典例2　(2020·山西大同学情调研)椭圆＋＝1(a>b>0)两焦点分别为F1、F2，且离心率e＝.

(1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个交点，求|EF1|＋|EF2|取最小值时椭圆的方程；

(2)已知N(0,1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A、B，使得点N在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由．

【解析】　(1)e＝，∴＝，椭圆方程可化为＋＝1，与y＝x＋2联立，

消去y化简得4x2＋12x＋12－3b2＝0，

又由Δ＝144－16×(12－3b2)≥0，解得b2≥1，

此时|EF1|＋|EF2|＝2b≥2，当且仅当b＝1时，取“＝”

|EF1|＋|EF2|取最小值2，

所以椭圆方程为＋y2＝1．

(2)设直线l的方程为y＝kx＋t，代入＋y2＝1，消去y整理得：

(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0，

∵直线与椭圆交于不同的两点，

∴Δ＝(6kt)2－12(t2－1)(1＋3k2)>0，

即t2<1＋3k2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，

则AB中点Q

所以当k≠0时，＝－，

化简得1＋3k2＝－2t，代入t2<1＋3k2得－2<t<0；

又－2t＝1＋3k2>1，所以t<－，故－2<t<－；

当k＝0时，－1<t<1．

综上，k≠0时，－2<t<－；k＝0时，－1<t<1．

【剖析】　在直线和圆锥曲线的位置关系的问题中，有一类是利用直线与圆锥曲线相交去探求参数的取值范围的问题，如本题(2)，已知直线l：y＝kx＋t与椭圆交于不同的两点A、B，需要我们由点N在线段AB的垂直平分线上去探求直线l在y轴上的截距的范围，因为直线y＝kx＋t与椭圆有两个交点，在求解过程中，将直线的方程与椭圆有两个交点，在求解过程中，将直线的方程与椭圆的方程联立，把得到的方程组转化为关于x的一元二次方程后，需要由Δ>0这个条件来制约参数k，t之间的关系．

3．求解圆锥曲线的综合问题时不会由目标去逆推条件

典例3　(2020·广东惠州第一次调研)已知定点A(－3,0)，B(3,0)，直线AM，BM，相交于点M，且它们的斜率之积为－，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程．

(2)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．

【解析】　(1)设动点M(x，y)，则kMA＝，kMB＝(x≠±3)，

∵kMA·kMB＝－，即·＝－，

化简得：＋y2＝1(x≠±3)，

故曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±3)．

(2)由已知直线l过点T(1,0)，

设l的方程为x＝my＋1，

则联立方程组，

消去x得(m2＋9)y2＋2my－8＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则，

直线SP与SQ斜率分别为

kSP＝＝，

kSQ＝＝，

kSP·kSQ＝

＝

＝，

当s＝3时，kSP·kSQ＝＝－，

当s＝－3时，kSP·kSQ＝＝－，

所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值．

【剖析】　本题属于圆锥曲线综合问题，其中第(2)问探究“是否存在异于点T的顶点S(s,0)，使得直线SP与SQ的斜率之积为定值”，对于这类探索性问题，求解时很难把握求解方向，破解的关键是由目标去逆推条件，即假定目标“kSP·kSQ＝的定值”，求出s的值，这种方法适用于解析几何中探索定点、定值问题的求解．