重庆市沙坪坝区2021-2022学年八年级下学期期末调研测试数学试题(word版含答案)

这是一份重庆市沙坪坝区2021-2022学年八年级下学期期末调研测试数学试题(word版含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市沙坪坝区2021-2022学年八年级下学期期末调研测试
数学试题
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）点（1，0）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
2．（4分）已知＝，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
3．（4分）点O为矩形ABCD对角线AC与BD的交点，若AC＝6，则OD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．6
4．（4分）2022年冬奥会在北京市张家口成功举办．四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的方差如表所示，则这四名选手几次选拔赛成绩最稳定的是（　　）
选手
甲
乙
丙
丁
方差
5.5
10.5
12.5
17.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（4分）在▱ABCD中，∠A：∠B＝2：1，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．100° D．120°
6．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后可化为（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x﹣1）2＝3 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
7．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD＝1：2，若AB＝4，则DE的长为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
8．（4分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．等腰梯形 D．矩形
9．（4分）点O为▱ABCD对角线AC与BD的交点，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，下列结论一定正确的是（　　）

A．OA＝OB B．∠DEO＝∠CFO C．CD＝OD D．AE＝CF
10．（4分）如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为150cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（20﹣2x）（15﹣x）＝150 B．（20﹣x）（15﹣2x）＝150
C．（20﹣x）（15﹣x）＝150 D．（20﹣2x）（15﹣2x）＝150
11．（4分）自行车运动爱好者小明从家出发沿笔直的公路骑行去公园，在公园休息玩耍后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的对应关系．下列描述正确的是（　　）

A．小明家距公园30km
B．小明休息玩耍的时间为1.5h
C．小明去公园的速度比回家时的速度快
D．小明在公园休息玩耍和往返总时间为2.5h
12．（4分）在平面直角坐标系中，若反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣1
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中五名师生的体温（单位：℃）如下：36，37，36，37，36，则这组数据的众数是 　 　．
14．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根，则实数m的值为 　 　．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，BE平分∠ABC交AD于点E，连结CE．若AB＝2，CE平分∠BCD．则▱ABCD的周长为 　 　．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落到直线y＝x上，再将△AB1O1绕点B1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落到直线y＝x上，以此类推，…．若点B的坐标为（0，1），则点O8的坐标为 　 　．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x＝0；
（2）x2+3x﹣2＝0．
18．（8分）如图，点O为菱形ABCD的对角线AC与BD的交点．
（1）若AC＝6，BD＝8，求菱形ABCD的周长；
（2）若AE垂直且平分BC，垂足为点E，判断△ABC的形状，并说明理由．

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某校组织七、八年级学生进行了“垃圾分类知识”比赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.0≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x＜100），下面给出了部分信息．
七年级10名学生的比赛成绩是：93，84，86，86，77，88，94，86，100，96
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：83，89，89
七～八年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级
中位数
众数
七年级
87
86
八年级
a
91
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，m的值；
（2）计算七年级学生的平均成绩是多少分？
（3）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

20．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B的纵坐标为3．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式，并在网格中直接画出它们的图象（不需列表）；
（2）根据函数图象判断，当x＜﹣3时，y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（3）连结OA，OB，求△AOB的面积．

21．（10分）在▱ABCD中，连结AC，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连结DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若AC＝BC，∠ACB＝40°，求∠CDF的度数．

22．（10分）如果一次函数y1＝a1x+b1（a1≠0，a1、b1是常数）与y2＝a2x+b2（a2≠0，a2、b2是常数）满足a1+a2＝0，且b1+b2＝0，则称y1为y2的“旋转函数”．
例如：y1＝2x﹣3，y2＝﹣2x+3，∵2+（﹣2）＝0，且（﹣3）+3＝0，∴y1＝2x﹣3为y2＝﹣2x+3的“旋转函数”；
又如：y1＝﹣5x﹣4，y2＝5x﹣4，∵﹣5+5＝0，但﹣4+（﹣4）≠0，∴y1＝﹣5x﹣4不为y2＝5x﹣4的“旋转函数”．
（1）判断y1＝﹣7x+6是否为y2＝7x﹣6的“旋转函数”？并说明理由；
（2）若一次函数y1＝（m﹣2）x﹣5为y2＝4x+（n+2）的“旋转函数”，求mn的值；
（3）已知函数y＝﹣2x+3的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，点A，B关于原点的对称点分别是点A1，B1，求直线A1B1的“旋转函数”．
23．（10分）某商店以每件60元的价格购进一种小电器，标价150元，经过两次降价，以每件96元出售，结果一个月售出200台．根据以往销售经验，销售单价每降价1元，每月销售量就会增加5台．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）商店希望一个月内销售该种小电器能获得利润6900元，则该种小电器的销售单价应再降价多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝﹣x+3交x轴于点C，交直线l1于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）求△ACD的周长；
（3）在直线l2：y＝﹣x+3上是否存在点P，使△BDP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


25．（10分）点O为正方形ABCD对角线AC与BD的交点，点E为直线BD上一点（点E与点B，点D，点O不重合），连结AE．
（1）如图1，若点E为OD的中点，AB＝，求△ABE的面积；
（2）如图2，若点E在线段OD上，过点E作EF⊥AE交BC于点F，交AC于点H．过点F作FG∥AE交BD于点G．求证：FG+FH＝AE；
（3）若点E为直线BD上一动点，其它条件与（2）问条件不变．请写出线段DE，BG，CH之间的数量关系．



重庆市沙坪坝区2021-2022学年八年级下学期期末调研测试
数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）点（1，0）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
【分析】根据x轴上的点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵点（1，0）的纵坐标为0，
∴点（1，0）在x轴上．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握坐标轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
2．（4分）已知＝，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根据已知条件求出a＝2b，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵＝，
∴a＝2b，
∴
＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
3．（4分）点O为矩形ABCD对角线AC与BD的交点，若AC＝6，则OD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】利用矩形的对角线相等可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，
∵AC＝6，
∴OD＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的对角线相等，比较简单．
4．（4分）2022年冬奥会在北京市张家口成功举办．四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的方差如表所示，则这四名选手几次选拔赛成绩最稳定的是（　　）
选手
甲
乙
丙
丁
方差
5.5
10.5
12.5
17.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵5.5＜10.5＜12.5＜17.5，
∴甲的成绩的方差最小，成绩最稳定，
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（4分）在▱ABCD中，∠A：∠B＝2：1，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】由平行四边形的对边平行结合条件可求得∠A，则可求得∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝2：1，
∴∠A＝120°，
∴∠C＝∠A＝120°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角相等是解题的关键．
6．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后可化为（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x﹣1）2＝3 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
7．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD＝1：2，若AB＝4，则DE的长为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】根据位似图形的性质分析即可．
【解答】解：因为△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且OA：OD＝1：2，
所以DE＝2AB＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的有关知识是解题的关键．
8．（4分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．等腰梯形 D．矩形
【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，
故四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是矩形．
故选：D．

【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的概念及三角形的中位线定理，正确把握相关性质是解题关键．
9．（4分）点O为▱ABCD对角线AC与BD的交点，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，下列结论一定正确的是（　　）

A．OA＝OB B．∠DEO＝∠CFO C．CD＝OD D．AE＝CF
【分析】利用平行四边形的性质，可得AD∥BC，OA＝OC，从而利用AAS证明△AOE≌△COF，得AE＝CF．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．（4分）如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为150cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（20﹣2x）（15﹣x）＝150 B．（20﹣x）（15﹣2x）＝150
C．（20﹣x）（15﹣x）＝150 D．（20﹣2x）（15﹣2x）＝150
【分析】根据“剪去的小正方形的边长为xcm”，则纸盒的底面为长（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm的长方形，再根据纸盒的底面积为150cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（20﹣2x）（15﹣2x）＝150．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（4分）自行车运动爱好者小明从家出发沿笔直的公路骑行去公园，在公园休息玩耍后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的对应关系．下列描述正确的是（　　）

A．小明家距公园30km
B．小明休息玩耍的时间为1.5h
C．小明去公园的速度比回家时的速度快
D．小明在公园休息玩耍和往返总时间为2.5h
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确．
【解答】解：由图象知：
A．小明家距图书馆15km，故此选项不符合题意；
B．小明休息玩耍的时间为1.5﹣0.5＝1（h），故此选项不符合题意；
C．小明去公园的速度比回家时的速度快，描述正确，故此选项符合题意；
D．小明在公园休息玩耍和往返总时间为2.5﹣0.5＝2（h），故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据反比例函数的性质可得a+3＞0，从而可得a＞﹣3，根据一元二次方程有实数根，从而可得Δ≥0，然后可得﹣3＜a≤，从而可得所有满足条件的整数a的值，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴a+3＞0，
∴a＞﹣3，
∵一元二次方程有实数根，
∴Δ≥0且a+1≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+1）•1≥0且a+1≠0，
∴a≤且a≠﹣1，
∴﹣3＜a≤且a≠﹣1，
∴所有满足条件的整数a的值为﹣2，，0，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中五名师生的体温（单位：℃）如下：36，37，36，37，36，则这组数据的众数是 　36　．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：数据36，37，36，37，36中36出现3次，次数最多，
所以其众数为36，
故答案为：36．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
14．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根，则实数m的值为 　14　．
【分析】将x＝2代入方程得关于m的方程，解之可得．
【解答】解：将x＝2代入方程得：22+5×2﹣m＝0，
解得：m＝14，
故答案为：14．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键
15．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，BE平分∠ABC交AD于点E，连结CE．若AB＝2，CE平分∠BCD．则▱ABCD的周长为 　12　．

【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，AD＝BC，AD∥BC，再证∠ABE＝∠AEB，∠ECD＝∠DEC，则AE＝AB＝2，DE＝CD＝2，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，∠DEC＝∠ECB，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠DCE＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ECD＝∠DEC，
∴AE＝AB＝2，DE＝CD＝2，
∴AD＝AE+DE＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（2+4）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落到直线y＝x上，再将△AB1O1绕点B1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落到直线y＝x上，以此类推，…．若点B的坐标为（0，1），则点O8的坐标为 　（6+6，6）　．

【分析】根据题意可知O2、O4、O6、O8…落在直线y＝x上，要求出OO8的长度，即可求出O8坐标．
【解答】解：在Rt△AOB中，OB＝1，∠BAO＝30°，
∴AB＝，OA＝2，
由旋转得：OB＝O1B1＝O2B2＝……＝1，OA＝O1A＝O2A1＝……＝2，AB＝A1B1＝A2B2＝……＝，
∴OO2＝1+2+＝3+，
观察图象可知，O8在直线y＝x时，
OO8＝4•OO2＝4（3+）＝12+4，
∴O8的纵坐标＝OO8＝6+2，
O8的横坐标＝OO8＝6+6，
故答案为：（6+6，6）．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转以及直角三角形的性质，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+4x＝0；
（2）x2+3x﹣2＝0．
【分析】（1）利用因式分解法中的提公因式法把方程左边进行因式分解；
（2）利用利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）∵x2+4x＝0，
∴x（x+4）＝0，
∴x＝0或x+4＝0
∴x1＝0，x2＝﹣4；
（2）x2+3x﹣2＝0
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
18．（8分）如图，点O为菱形ABCD的对角线AC与BD的交点．
（1）若AC＝6，BD＝8，求菱形ABCD的周长；
（2）若AE垂直且平分BC，垂足为点E，判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据菱形的性质得出，AO＝3，BO＝4，∠AOB＝90°．在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB的长，从而求出菱形的周长；
（2）根据AE垂直且平分BC可得AB＝AC，再根据菱形的性质可得，AB＝BC，所以AB＝BC＝AC．故△ABC是等边三角形．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形．
∴AO＝AC＝3，BO＝，且AC⊥BD．
∴∠AOB＝90°．
在Rt△AOB中，
AB＝．
∵AB＝BC＝CD＝AD．
∴菱形的周长＝4AB＝4×5＝20．
（2）等边三角形．理由如下：
∵AE垂直且平分BC．
∴AB＝AC．
∵四边形ABCD是菱形．
∴AB＝BC．
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了菱形的性质与线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形对角线互相垂直且平分，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某校组织七、八年级学生进行了“垃圾分类知识”比赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.0≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x＜100），下面给出了部分信息．
七年级10名学生的比赛成绩是：93，84，86，86，77，88，94，86，100，96
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：83，89，89
七～八年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级
中位数
众数
七年级
87
86
八年级
a
91
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，m的值；
（2）计算七年级学生的平均成绩是多少分？
（3）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

【分析】（1）求出八年级抽取的10名学生的比赛成绩四个组所在的人数，再根据中位数的定义求出a的值，用D组人数除以10可得m%；
（2）根据平均数的定义列式计算即可；
（3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
【解答】解：（1）八年级抽取的10名学生的比赛成绩中，
A组人数有10×10%＝1（人），B组人数有10×20%＝2（人），C组人数有3人，D组人数有10﹣1﹣2﹣3＝4（人），
八年级成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是89，因此中位数是89，即a＝89，
m%＝＝40%，m＝40；
（2）七年级学生的平均成绩是（93+84+86+86+77+88+94+86+100+96）÷100＝89（分）；
（3）八年级成绩较好，理由如下：
八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
20．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B的纵坐标为3．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式，并在网格中直接画出它们的图象（不需列表）；
（2）根据函数图象判断，当x＜﹣3时，y1　＜　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（3）连结OA，OB，求△AOB的面积．

【分析】（1）根据反比例函数y2＝（m≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣1），求出m的值，得出反比例函数的解析式，从而求出点B的坐标，再根据一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B，求出k和b的值，得出一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象和交点坐标即可求得；
（3）根据△AOB的面积＝S△BOC+S△AOC，利用三角形角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（m≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣1），
∴m＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
∵反比例函数y2＝（m≠0）的图象经过点B且点B的纵坐标为3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵一次函数y1＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣1），点B（1，3），
∴，
解得：k＝1，b＝2，
故一次函数的解析式为y1＝x+2；
图象如下：

（2）根据函数图象，当x＜﹣3时，y1＜y2；
故答案为：＜；
（3）令x＝0，则y1＝2，
∴C（0，2），
∴△AOB的面积＝S△BOC+S△AOC＝+＝4．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是根据所给的条件得出B点的坐标，求出函数的解析式．注意运用数形结合的思想，难度不大，是中考常考的题型．
21．（10分）在▱ABCD中，连结AC，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连结DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若AC＝BC，∠ACB＝40°，求∠CDF的度数．

【分析】（1）证△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠CAB＝∠CBA＝70°，再由直角三角形的性质得∠ABE＝20°，然后由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AC＝BC，∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣∠ACB）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CAB＝90°﹣70°＝20°，
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴∠CDF＝∠ABE＝20°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（10分）如果一次函数y1＝a1x+b1（a1≠0，a1、b1是常数）与y2＝a2x+b2（a2≠0，a2、b2是常数）满足a1+a2＝0，且b1+b2＝0，则称y1为y2的“旋转函数”．
例如：y1＝2x﹣3，y2＝﹣2x+3，∵2+（﹣2）＝0，且（﹣3）+3＝0，∴y1＝2x﹣3为y2＝﹣2x+3的“旋转函数”；
又如：y1＝﹣5x﹣4，y2＝5x﹣4，∵﹣5+5＝0，但﹣4+（﹣4）≠0，∴y1＝﹣5x﹣4不为y2＝5x﹣4的“旋转函数”．
（1）判断y1＝﹣7x+6是否为y2＝7x﹣6的“旋转函数”？并说明理由；
（2）若一次函数y1＝（m﹣2）x﹣5为y2＝4x+（n+2）的“旋转函数”，求mn的值；
（3）已知函数y＝﹣2x+3的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，点A，B关于原点的对称点分别是点A1，B1，求直线A1B1的“旋转函数”．
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义判断即可；
（2）根据“旋转函数”的定义构建方程求解即可；
（3）求出A1，B1的坐标，利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：（1）y1＝﹣7x+6是y2＝7x﹣6的“旋转函数”，
理由：∵﹣7+7＝0，6+（﹣6）＝0，
∴y1＝﹣7x+6是y2＝7x﹣6的“旋转函数”；

（2）∵一次函数y1＝（m﹣2）x﹣5为y2＝4x+（n+2）的“旋转函数”，
∴m﹣2＝﹣4，n+2＝5，
∴m＝﹣2，n＝3，
∴mn＝（﹣2）3＝﹣8；

（3）对于函数y＝﹣2x+3，
令x＝0，得到y＝3，
令y＝0，得到x＝，
∴A（，0），B（0，3），
∵点A，B关于原点的对称点分别是点A1，B1，
∴A1（﹣，0），B1（0，﹣3），
设直线A1B1的解析式为y＝kx+b，则有，
∴，
∴直线A1B1的解析式为y＝﹣2x﹣3，
∴直线A1B1的“旋转函数”为y＝2x+3．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“旋转函数”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）某商店以每件60元的价格购进一种小电器，标价150元，经过两次降价，以每件96元出售，结果一个月售出200台．根据以往销售经验，销售单价每降价1元，每月销售量就会增加5台．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）商店希望一个月内销售该种小电器能获得利润6900元，则该种小电器的销售单价应再降价多少元？
【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，根据经过两次降价，以每件96元出售列一元二次方程，求解即可；
（2）设该种小电器的销售单价应再降价m元，根据一个月内销售该种小电器能获得利润6900元列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得150（1﹣x）2＝96，
解得x1＝20%或x2＝180%（舍），
答：平均每次降价的百分率为20%；
（2）设该种小电器的销售单价应再降价m元，
根据题意，得（96﹣60﹣m）（200+5m）＝6900，
解得m＝6或m＝﹣10（舍），
答：该种小电器的销售单价应再降价6元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝﹣x+3交x轴于点C，交直线l1于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）求△ACD的周长；
（3）在直线l2：y＝﹣x+3上是否存在点P，使△BDP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）当2x+6＝﹣x+3时，解方程即可得出点D的横坐标，从而得出答案；
（2）利用函数解析式求出C和A的坐标，再利用两点间距离公式即可解决问题；
（3）设P（m，﹣m+3），根据两点间的距离公式表示出PD，PB的长，再根据等腰三角形的性质进行分类即可．
【解答】解：（1）当2x+6＝﹣x+3时，
解得x＝﹣1，
∴y＝4，
∴D（﹣1，4）；
（2）对于y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0），
对于y＝2x+6，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴AC＝6，CD＝，AD＝＝2，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝6+4+2；
（3）存在，设P（m，﹣m+3），
∵B（0，6），D（﹣1，4），
∴BD＝，
当BD＝BP时，则m2+（m+3）2＝5，
解得m＝﹣2或﹣1（舍去），
∴P（﹣2，5），
当DB＝DP时，则（m+1）2+（m+1）2＝5，
解得m＝﹣1±，
∴P（﹣1+，4﹣）或（﹣1﹣，4+），
当PD＝PB时，m2+（m+3）2＝（m+1）2+（m+1）2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，），
综上：存在点P，P（﹣2，5）或（﹣1+，4﹣）或（﹣1﹣，4+）或（﹣，）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握两点间的距离公式表示各线段的长是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
25．（10分）点O为正方形ABCD对角线AC与BD的交点，点E为直线BD上一点（点E与点B，点D，点O不重合），连结AE．
（1）如图1，若点E为OD的中点，AB＝，求△ABE的面积；
（2）如图2，若点E在线段OD上，过点E作EF⊥AE交BC于点F，交AC于点H．过点F作FG∥AE交BD于点G．求证：FG+FH＝AE；
（3）若点E为直线BD上一动点，其它条件与（2）问条件不变．请写出线段DE，BG，CH之间的数量关系．


【分析】（1）根据勾股定理计算正方形对角线的长，再根据三角形面积公式计算即可解答；
（2）根据“一线三等角、K型全等”这一基本模型，证明△AME≌△ENF，△AHE≌△EGF，即可解答；
（3）需要分：①当点E在线段OD上时、②当点E在线段DB的延长线上时、③当点E在线段BD的延长线上时，④当点E在线段OB上时四种情况分别解答即可．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，AB＝，点E为OD的中点，
∴OA＝OB＝OD＝1，OE＝OD＝，AO⊥BD，
∴BE＝BO+OE＝，
∴S△ABE＝×BE×AO＝×1＝；
（2）过点E作EN⊥BC于点N，交AD于M（如图），

在正方形ABCD中，
∴∠EBN＝45°，
∴AM＝BN＝EN，
∴∠AME＝∠AEF＝∠FNE＝90°，
∴∠MAE+∠1＝∠FEN+∠1＝90°，
∴∠MAE＝∠FEN，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴EA＝EF，
同理证明△AHE≌△EGF，
∴AE＝EF，GF＝EH，
∴HE+FH＝EF＝FG+FH＝AE，
即FG+FH＝AE；
（3）①当点E在线段OD上时（如上图），
∵由（2）得：△AHE≌△EGF，
∴AH＝EG，
∵AH＝AC﹣HC，EG＝BD﹣BG﹣DE，AC＝BD，
∴AC﹣HC＝BD﹣BG﹣DE，
即HC＝BG+DE；
②当点E在线段DB的延长线上时（如图），连接CE，

∵正方形ABCD对角线AC与BD交于点O，
∴BD垂直平分AC，∠BAO＝∠BCO＝45°，
∴AE＝CE，
∴∠EAO＝∠CEO，
∴∠EAO﹣∠BAO＝∠CEO﹣∠BCO，即∠EAB＝∠ECB，
在△FME和△AMB中，由“8”字型易得：∠MAB＝∠MFE，
同理△FGE和△OHE中，∠FGE＝∠OHE，
∴∠MFE＝∠ECB，
∴FE＝CE，
∴FE＝AE，
又∵∠EFG＝∠AEH＝90°，
∴△EFG≌△AEH（AAS），
∴EG＝AH，
∵EG＝BG﹣BE，AH＝AC+CH＝BD+CH，
∴BG﹣BE＝BD+CH，即BG＝BE+BD+CH＝DE+CH，
∴BG＝DE+CH；
③当点E在线段BD的延长线上时（如图），过点E作EN⊥BA于点N，作EH'⊥BF于点H'，

∵∠NBE＝∠H'BE＝45°，∠NEH'＝∠AEF＝90°，
∴EN＝EH'，∠NEA＝∠H'EF，
∴△NEA≌ΔH'EF，
∴AE＝EF，
∵在Rt△GOM和Rt△HFM中，由“8”字型得∠G＝∠F，∠AEH＝∠EFG＝90°，
∴△AEH≌△EFG（AAS），
∴AH＝EG，
∵AH＝AC+CH，EG＝ED+DB+BG，AC＝BD，
∴CH＝ED+BG；
④当点E在线段OB的延长线上时（如图），连接CE，

方法同上，得∠1＝∠3，∠1＝∠2，∠2＝∠3，AE＝EC，EC＝EF，
∴EF＝AE，
∴在Rt△EFG≌Rt△AEH（AAS），
∴EG＝AH，
∵EG＝BG+BE＝BG+BD﹣ED，AH＝AC﹣CH，BD＝AC，
∴BG+BD﹣ED＝AC﹣CH，
∴ED＝BG+CH．
综上所述：线段DE，BG，CH之间的数量关系为：HC＝BG+DE或BG＝DE+CH或ED＝BG+CH．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，推理比较复杂，解题关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力．