人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知空间中三点，，，则(    )

A. 与是共线向量
B. 与向量方向相同的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

2. 下列命题正确的是(    )

A. 是向量，不共线的充要条件
B. 在空间四边形中，
C. 在棱长为的正四面体中，
D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面

3. 如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

4. 在四面体中，，分别是，的中点，是的三等分点靠近点，若，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知空间三点，，若，且，则点的坐标为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

6. 若，，，则的形状是(    )

A. 不等边锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形

7. 如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：
   
   长度为定值；
   三棱锥的体积为定值；
   任意点，都有；
   存在点，使得平面．
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在正方体中，点满足若平面平面，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 在平行六面体中，，各棱长均为，则下列命题中正确的是(    )

A. 不是空间的一个基底
B.
C.
D. 平面

10. 设是空间的一组基底，则下列结论正确的是(    )

A. 可以为任意向量
B. 对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C. 若，，则
D. 可以作为构成空间的一组基底

11. 多选题已知点是平行四边形所在平面外一点，若，，，则下列结论正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(    )

A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知单位向量，，，，，，若空间向量，满足，则          ．
14. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为__________．
15. 已知空间三点，，，四边形是平行四边形，其中，为对角线，则          
16. 给出下列命题：
    直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；
    直线的方向向量，平面的法向量，则；
    平面、的法向量分别为，，则；
    平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．
    其中真命题的是______把你认为正确命题的序号都填上

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 如图所示，已知几何体是平行六面体．          
    
    
    化简结果用表示并在图上标出该结果点明，的具体位置；                             
     设是底面的中心，是侧面对角线上的点，且，设，试求，，的值．
18. 已知向量，．
    若，求实数；
    若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
19. 如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，．
     

用，，表示，；

求异面直线与所成角的余弦值．

20. 如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．

用，，表示向量；

在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．

21. 如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，，分别是，的中点，是上的点，．

试确定点的位置

求，的值．

22. 如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．
     
    
    求证：平面．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解，属于中档题．
可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可．

【解答】

解：，，，所以与不共线，所以A错误
，与向量方向相同的单位向量为，所以B错误
，所以，所以C错误
设平面的法向量是，
则，即，
令，可得，，所以平面的一个法向量是，所以D正确．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量加法的三角形法则，向量共线的定义，共面向量，四点共面的充要条件及空间向量的数量积，属于中档题．
由，可知向量，可能共线，故A不正确；根据空间向量的线性运算及向量积可判断B正确；，不正确；由，可得，，，四点不共面，可判断不正确．

【解答】

解：由，可知向量，的方向可能相同，即可能共线，故A不正确；
在空间四边形中，

，故B正确；
在棱长为的正四面体中，，故C错误；
设，，三点不共线，为平面外一点，
若，由，可得，，，四点不共面，故D错误．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的线性运算，属于一般题．
利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．
熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键．

【解答】

解：、分别是对边、的中点，
，．

，
因此，．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

略

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的坐标的运算，属于中档题．
根据 ，可设易知，则由建立方程，解出，求出设点的坐标为，由，得到方程组，这样求出的坐标．

【解答】

解：，可设．
易知，则．
又，
，解得，
或．
设点的坐标为，
则，
或
解得或
故点的坐标为或．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质、模的计算公式，属于中档题．
利用向量坐标运算性质、数量积运算性质、模的计算公式即可得出．

【解答】

解：，，，
即，可得为锐角，
同理可得，也为锐角．
，
同理可得，．
为不等边锐角三角形．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与平面、直线与直线、平面与平面间的位置关系的判断，属于中档题．
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式可判断的正误，利用锥体的体积公式可判断的正误，利用空间向量法可判断的正误．

【解答】

解：设正方体的棱长为，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图，

则、、、、、、、
设点，其中．
对于，不是定值，错误；
对于，在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则
又平面，平面，则平面，
又，则点到平面的距离为定值，又三角形的面积也为定值，
所以，三棱锥的体积为定值，正确；
对于，，，所以，，
因此，对任意点，都有，正确；
对于，，，，
若平面，则，这样的不存在．
所以不存在点，使得平面，错误．
故答案为：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了面面平行的性质，空间向量的线性运算以及利用向量法解决空间中的线面问题，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据平面平面则，即可求解实数的值．

【解答】

解：以为原点，，，为，，建立空间直角坐标系，设，
则，设平面的法向量，
则，令，则，，故，
平面平面，则，
，
故，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查空间向量的线性运算、数量积、空间向量基本定理和线面垂直的判定，属于一般题．
利用已知条件对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于、因为，所以不是空间的一个基底，故A正确；
对于、因为，故B错误；
对于、因为
 

，故正确；
对于、由题意，易知四边形为菱形，故，
又，
故，即，
又平面故平面故D正确，
故选ACD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的基本定理及应用，共线与共面向量定理及应用和空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
利用基底的概念对进行判断，再利用空间向量的基本定理对进行判断，再利用共线与共面向量定理对进行判断，再利用共面向量定理和空间向量的基本定理，结合空间向量的加减运算及数乘运算，对进行判断，从而得结论．

【解答】

解：是空间的一组基底．
对于、是不共面的三个向量，因此不正确；
对于、对空间任一向量，存在唯一有序实数组，
使，因此B正确；
对于、因为，，所以与是共面向量，
但不一定垂直，因此不正确；
对于、设，
则，
因此，无解，
因此，，不共面，
所以可以作为构成空间的一组基底，因此D正确．
故选BD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

由知，所以中结论错误

，，所以，所以，即，故B中结论正确

易知，若，则存在实数，使得，即此方程组无解，故不平行于，故C中结论错误，，所以，所以，所以中结论正确故选BD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量判断空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的平行关系和垂直关系，属于中档题．
根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．

【解答】

解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；
对于，直线的方向向量，平面的法向量是且
，所以或，选项B错误；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，，且
，所以，选项C正确；
对于，直线的方向向量，平面的法向量是且，
所以，选项D错误．
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的基本概念，空间向量的垂直和空间向量的数量积及运算律，属于中档题．
利用空间向量的垂直得，，再利用空间单位向量得，再利用空间向量的数量积及运算律得，和，最后把条件代入，计算得结论．

【解答】

解：因为，，所以，．
又因为，，都是单位向量，所以．
又因为，，，，
所以由得，
即   ；
由得，即；
由得，
即  ．
由得，因此．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间中的距离，空间向量的加减运算及数乘运算，空间向量的数量积及运算律，投影向量空间向量 和利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于中档题．
利用题目条件，以为坐标原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的加减运算及数乘运算得和，再利用空间向量的数量积，结合题目条件得，解得，从而得，再利用空间向量求点面距和投影向量，计算得结论．

【解答】

解：因为在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，
所以以为坐标原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如下图：

设，
则，，，，，
且．
因为、分别是与的中点，所以，且．
取的中点，则且．
因为是的重心，
所以
，
因此．
又因为点在平面上的射影是的重心，
所以是平面的一个法向量，
因此，解得，
所以，
因此点到平面的距离为．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

设，根据，求出点的坐标，可得，即可求出，
本题考查了空间向量的运算和向量的相等，以及向量的模，属于基础题．

【解答】

解：空间三点，，，四边形是平行四边形，
设，
，，
又四边形是平行四边形，
，
，，，
解得，，，
，
，
，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，属于中档题．
根据直线、的方向向量与垂直，得出；
根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，不能判断；
根据平面、的法向量与不共线，不能得出；
求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值．
【解答】
解：对于，，，
，
，
直线与垂直，正确；
对于，，，
，
，或，错误；
对于，，，
与不共线，
不成立，错误；
对于，点，，，
，，
向量是平面的法向量，
，
即；
则，正确．
综上，以上真命题的序号是．
故答案为：．  

17.【答案】解取的中点，在上取一点，使得，
连接， 则与相等的向量都对 
如图所示：


，
所以，，． 

【解析】略
 

18.【答案】解：因为，，
所以，，
因为，所以，
解得：．
因为向量与所成角为锐角，
所以
，解得． 

【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的坐标运算，向量的数量积，属于基础题．
根据条件可求得的坐标，根据向量平行的坐标关系可求出的值；
因为向量与所成角为锐角，所以，根据向量的数量积以及平行的关系可求得的取值范围．
 

19.【答案】解：，

由题意及可得

，


，
，
．
异面直线与所成角的余弦值为． 

【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加减运算与数量积运算，以及利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题．
利用空间向量基本定理及空间向量的加减运算法则得出即可；
利用空间向量的数量积运算法则进行求解即可．
 

20.【答案】解：

设
则
若存在，使
则，
所以，
所以，
因为，，，，，，
所以，，，，
所以，
解得：，
所以当是上靠近的三等分点时， 

【解析】本题考查空间向量基本定理的运用，考查向量数量积的运算，属于中档题．
利用空间向量的加减，数乘运算求解即可；
利用空间向量数量积运算求解即可．
 

21.【答案】解：由正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，
，得平面，

，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，

则，，，，

，，

，，，

，为的中点．

，，

，又，

，，．

，．

【解析】本题考查空间向量垂直的坐标表示，空间向量夹角余弦的求法，是中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，利用，，求出的值，确定点位置；
利用空间向量夹角余弦公式能求出．
 

22.【答案】证明：依题意，平面，四边形是正方形，
如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．

依题意，可得，，，
，，，．
取的中点，连接．
因为，，，
所以，所以．
又因为平面，平面，
所以平面． 

【解析】本题考查线面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，取的中点，连接推导出，由此能证明平面．