湖南省常德市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖南省常德市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共43页。试卷主要包含了﹣2sin30°+cs45°，计算，﹣1•﹣4tan45°，解方程等内容，欢迎下载使用。
湖南省常德市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•常德）计算：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°．
2．（2021•常德）计算：20210+3﹣1•﹣sin45°．
3．（2020•常德）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．
二．分式的混合运算（共2小题）
4．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．
5．（2021•常德）化简：（+）÷．
三．分式的化简求值（共1小题）
6．（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
7．（2021•常德）解方程：x2﹣x﹣2＝0．
五．分式方程的应用（共2小题）
8．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
9．（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
10．（2021•常德）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
七．解一元一次不等式组（共2小题）
11．（2022•常德）解不等式组．
12．（2020•常德）解不等式组．
八．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
13．（2021•常德）如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为（n，），反比例函数y1＝的图象的一支过A点，反比例函数y2＝的图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为．
（1）求n的值；
（2）求反比例函数y2的解析式．

九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
14．（2020•常德）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
一十．反比例函数综合题（共1小题）
15．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．

一十一．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．

17．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

18．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．

一十二．三角形综合题（共1小题）
19．（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
20．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．

一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
21．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．

22．（2020•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．

一十五．相似形综合题（共2小题）
23．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．


24．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．

一十六．解直角三角形的应用（共2小题）
25．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
26．（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
27．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）

（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
一十八．条形统计图（共1小题）
28．（2022•常德）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．

一十九．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2021•常德）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．

请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
30．（2020•常德）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•常德）计算：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°．
【解答】解：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°，
＝1﹣4×+2×，
＝1﹣2+2，
＝1．
故答案为：1．
2．（2021•常德）计算：20210+3﹣1•﹣sin45°．
【解答】解：20210+3﹣1•﹣sin45°
＝1+×3﹣
＝1+1﹣1
＝1．
3．（2020•常德）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．
【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1
＝1+6﹣4
＝3．
二．分式的混合运算（共2小题）
4．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．
【解答】解：（a﹣1+）÷
＝[+]•
＝•
＝．
5．（2021•常德）化简：（+）÷．
【解答】解：（+）÷
＝[]
＝
＝
＝．
三．分式的化简求值（共1小题）
6．（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．
【解答】解：（x+1﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝﹣．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
7．（2021•常德）解方程：x2﹣x﹣2＝0．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝0，
可得x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
五．分式方程的应用（共2小题）
8．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【解答】解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的根，
4×60＝240（千米），
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
9．（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得：﹣＝140，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
10．（2021•常德）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
【解答】解：（1）设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万元，
依题意得：，
解得：．
答：销售一台A型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B型新能源汽车的利润是0.5万元．
（2）设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车（22﹣m）台，
依题意得：12m+15（22﹣m）≤300，
解得：m≥10．
答：最少需要采购A型新能源汽车10台．
七．解一元一次不等式组（共2小题）
11．（2022•常德）解不等式组．
【解答】解：由5x﹣1＞3x﹣4，得：x＞﹣，
由﹣≤﹣x，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1．
12．（2020•常德）解不等式组．
【解答】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣1，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．
八．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
13．（2021•常德）如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为（n，），反比例函数y1＝的图象的一支过A点，反比例函数y2＝的图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为．
（1）求n的值；
（2）求反比例函数y2的解析式．

【解答】解：（1）S△AOH＝，
即，＝，
∴n＝1，
（2）过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图所示：

∵AO⊥BO，AB⊥y轴，
∴∠OQB＝∠AHO＝∠AOB＝90°，
∴∠BOQ+∠AOH＝90°，∠AOH+∠OAH＝90°，
∴∠BOQ＝∠OAH，
∴△BOQ∽△OAH，且BQ＝AH＝，
∴，即，
∴QO＝3，
∵点B位于第二象限，
∴点B的坐标（﹣3，），
将点B的坐标代入反比例函数y2＝中，
k2＝﹣3×＝﹣3，
∴反比例函数y2的解析式为：y2＝﹣．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
14．（2020•常德）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+12；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，
∴只有一组解，
即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，
∴m＝﹣18．
把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，
即所求的交点坐标为（﹣3，6）．
一十．反比例函数综合题（共1小题）
15．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．

【解答】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．

一十一．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．

【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．


17．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

【解答】解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：

由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B（﹣2，0）、C（8，0）、D（13，10），
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，
解得：EO＝4，
∴点E坐标为（0，4），
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），将E点代入得：
4＝a×2×（﹣8），
解得：a＝﹣，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由（1）可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，
当x＝3时，y＝，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，），
又∵F是AD的中点，
∴F（8，10），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，将E（0，4），F（8，10）代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，
故抛物线的顶点在直线EF上；
（3）由（1）（2）可知：A（3，10），
设直线AB的解析式为：y＝k'x+b'，将B（﹣2，0），A（3，10）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x+b1，将F（8，10）代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为（0，﹣6），
设M（0，m），直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：（x+2）（x﹣8+2m）＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝MQ×（|xP|+|xB|）＝＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×（﹣）＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为（9，﹣）．
18．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．

【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，
得到＝9a，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2．

（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得到y＝，
∴C（0，），
由，解得或，
∴B（1，），
如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，

∴＝＝＝，＝＝＝，
∴＝，
即MC2＝MA•MB．

（3）如图2中，设P（t，t2）

∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，
∴PD∥OC，PD＝OC，
∴D（t，﹣t+），
∴|t2﹣（﹣t+）|＝，
整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，
解得t＝﹣1﹣或﹣1+或﹣2或0（舍弃），
∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．
一十二．三角形综合题（共1小题）
19．（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，
∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，
∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，
∴BE＝PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，
∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，
∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，
∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，
∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，
∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），
∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，
∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
一十三．切线的判定与性质（共1小题）
20．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．

【解答】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
21．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠OAD，
∴∠BOC＝∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，
∵ED∥BC，
∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，
则四边形EBHD为矩形，
∴BH＝ED，DH＝BE＝7，
∵AB＝8，AE＝1，
∴OE＝3，
∴ED＝＝＝，
∵CB、CD是⊙O的切线
∴CB＝CD，
设CB＝CD＝x，则CH＝x﹣，
在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x﹣）2＝x2，
解得：x＝4，即BC＝4，
∵ED∥BC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝．

22．（2020•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．

【解答】解：（1）连接OC，

∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DE⊥AB，
∴∠OBC+∠DFB＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
即∠ECO＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OB＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴BF＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠A，
∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，
∴，
∴EC＝＝＝．
一十五．相似形综合题（共2小题）
23．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．


【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∴∠AFB＝∠BAF＝45°，
∴BA＝BF，
∵BE＝CF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FC，AG＝GF，
∴DJ＝JC，
∵GJ⊥CD，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG＝∠GCO，
∴∠OEB＝∠OCG，
∵∠BOE＝∠GOC，
∴△OBE∽△OGC，
∴＝，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC；

（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAF，
∴BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FT，AG＝GF，
∴DJ＝JT，
∵GJ⊥DT，
∴GD＝GT，
∴∠GDT＝∠GTD，
∵∠ADT＝∠BTD＝90°，
∴∠ADG＝∠GTO，
∴∠OEB＝∠OTG，
∵∠BOE＝∠GOT，
∴△OBE∽△OGT，
∴＝，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC．
解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N，使得GN＝GM．

证明△OGF≌△MGA，推出OM＝OG＝GN，∠AMG＝∠GOF，
再证明△BOE∽△GDN，可得结论．
24．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．

【解答】证明：（1）∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD（AAS），
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
（2）①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO（SAS），
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，

∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
一十六．解直角三角形的应用（共2小题）
25．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【解答】解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．

根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°＝0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°＝0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM＝0.47（7﹣m）≈2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离是70米．
26．（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82（米），
在Rt△BCF中，
∵∠ABC＝45°，
∴CF＝BF，
∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．

方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68（米），
sinC＝sin70°＝，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88（米），
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．


一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
27．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）

（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．

一十八．条形统计图（共1小题）
28．（2022•常德）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．

【解答】解：（1）×100%＝21%，
∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（2）2000×（1﹣40%﹣27%﹣7%﹣10%）＝320（人），
∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有320人；
（3）（答案不唯一，合理即可）
如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．
一十九．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2021•常德）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．

请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
【解答】解：（1）此次抽样调查的人数为：20÷10%＝200（人）；
（2）接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%＝40%，
接种C类疫苗的人数为：200×15%＝30（人）；
（3）18000×（1﹣35%）＝11700（人），
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．
（4）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为＝．
30．（2020•常德）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．

【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；
（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；
（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；
（4）列表得：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者概率的有2种情况，
∴P（恰好选中B、D）＝＝．