湖南省张家界三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖南省张家界三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共38页。试卷主要包含了计算，﹣2，÷，其中x＝，阅读下面的材料等内容，欢迎下载使用。
湖南省张家界三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•张家界）计算：．
2．（2020•张家界）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．
二．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．
4．（2021•张家界）先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
5．（2020•张家界）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
三．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

四．一元二次方程的应用（共1小题）
7．（2021•张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
五．分式方程的应用（共1小题）
8．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
六．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝　 　；
（2）当min时，求x的取值范围．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
10．（2021•张家界）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　 　，f（4）＝　 　；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 　 　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
八．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

12．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

13．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

九．菱形的性质（共1小题）
14．（2022•张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．

一十．矩形的性质（共1小题）
15．（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．

一十一．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长．

17．（2020•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．

一十二．旋转的性质（共1小题）
18．（2021•张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．

一十三．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝，求AD的长．

一十五．特殊角的三角函数值（共1小题）
21．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
一十六．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）


一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
23．（2021•张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）

24．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

一十八．条形统计图（共1小题）
25．（2020•张家界）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
分数（分）
93
95
97
98
99
人数（人）
2
3
5
2
1
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）D组成绩的中位数是　 　分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？

一十九．列表法与树状图法（共2小题）
26．（2022•张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表
组别
时间x（分钟）
频数
A
0≤x＜20
6
B
20≤x＜40
14
C
40≤x＜60
m
D
60≤x＜80
n
E
80≤x＜100
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
27．（2021•张家界）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是 　 　；
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•张家界）计算：．
【解答】解：原式＝
＝．
2．（2020•张家界）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4
＝﹣1﹣+1﹣4
＝﹣4．
二．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．
【解答】解：原式＝
＝×+
＝+
＝；
因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，
当a＝3时，原式＝．
4．（2021•张家界）先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
【解答】解：原式＝•+
＝a+a
＝2a，
∵a＝0，1，2时分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝2×3＝6．
5．（2020•张家界）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当时，原式＝＝1．
三．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
7．（2021•张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
答：预计6月份的参观人数为13.31万人．
五．分式方程的应用（共1小题）
8．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
六．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；
（2）当min时，求x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
x≥，
∴x的取值范围为x≥．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
10．（2021•张家界）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝，f（3）＝　　，f（4）＝　　；
（2）猜想f（x）＝（x＞0）是 　减　函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【解答】解：（1），，
故答案为，；
（2）猜想：是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，则＝，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴函数是减函数，
故答案为减．
八．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

【解答】解：（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，
将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：，
又∵＝，＝＝，
∴顶点为D；
（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．
①当△EMN∽△OBC时，
∴，
解得t＝；
②当△EMN∽△OCB时，
∴，
解得t＝；
综上得，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；
（3）∵点关于点D的对称点为点G，
∴，
∵直线l：y＝kx+m与抛物线图象只有一个公共点，
∴只有一个实数解，
∴Δ＝0，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：xH＝，
同理可得：xK＝，
则：GH＝＝，GK＝＝×，
∴GH+GK＝+×＝，
∴GH+GK的值为．
12．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），
∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），
将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，
∴抛物线的顶点A（4，﹣4），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；
（3）△ABO是等腰直角三角形．
方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），
∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，
∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形．
方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），
∴OB＝8，OA＝＝＝，
AB＝＝＝，
且满足OB2＝OA2+AB2，
∴△ABO是等腰直角三角形；
（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：
动点E的运动时间为t＝AP+PB，
在OA上取点D，使OD＝，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，
∴＝＝2，
从而得：PD＝AP，
∴t＝AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，
则有 DG＝1，∠DOG＝45°
∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．


13．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，
∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．
当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．
∴．
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；

（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴直线l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；

（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，

∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1．
∴∠AM1B＝2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH＝BH＝NH＝2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴．
解得b＝5，k＝﹣5．
∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，
设EM1的函数解析式为y＝x+n，
∵点E的坐标为（）．
∴＝×+n，
解得：n＝．
∴EM1的函数解析式为y＝x+．
∵．
解得．
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，﹣a+5），
则有：3＝，解得a＝．
∴﹣a+5＝．
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
九．菱形的性质（共1小题）
14．（2022•张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．

【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
又∵CF∥BD
∴∠ODE＝∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE，
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．
一十．矩形的性质（共1小题）
15．（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长＝．
一十一．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长．

【解答】（1）证明；连接OD，
∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，
∴∠AOB＝60°，
又∵CD∥AO，
∴∠C＝∠AOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵OB＝OD，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠ADO＝∠ABO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，∠COD＝60°，
根据弧长公式可得，＝＝，
答：弧CD的长．

17．（2020•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．

【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB为直径作⊙O，
∴点C在⊙O上，
如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，
又∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
又∵∠BCD＝∠A，
∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，
∵∠ACB＝90°，CE＝2，
∴CE＝CF＝2，
∴EF＝．

一十二．旋转的性质（共1小题）
18．（2021•张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）当α＝90°时，四边形AFCE为菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵∠AOE＝90°，
∴四边形AFCE为菱形．
一十三．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求；
（2）如图，△A2O2B2即为所求；
（3）在Rt△AOB中，，
∴．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接AC，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
又∵点C是的中点
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，
又∵AC＝AC
∴△ACE≌△ACB（ASA），
∴CE＝CB，
∴CE＝CD；
（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，
∴AE＝AB＝3，
又∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
又∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
即：，
解得：DE＝2，
∴AD＝AE﹣DE＝1．
一十五．特殊角的三角函数值（共1小题）
21．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
【解答】解：原式＝
＝．
一十六．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）


【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴＝；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×＝40（m），
又∵，
即，
∴BC＝90m，
∴S△ABC＝×＝1800（m2）．


一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
23．（2021•张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）

【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图，
根据题意得∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝320m，
∵∠CAB＝∠CAM﹣∠BAM＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，
∴CA＝CB＝320m，
在Rt△ACD中，∠DCA＝60°，
∴sin∠ACD＝，
即sin∠60°＝，
∴AD＝320×＝160≈277（m）．
答．观测点A到桥面BC的距离是277米．

24．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱所在直线相交于点D，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD＝，
∴AD＝．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝，
∴BD＝x．
∵AD﹣BD＝AB，
∴﹣x＝9×6，
∴x＝162，
∵162＞150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．

一十八．条形统计图（共1小题）
25．（2020•张家界）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
分数（分）
93
95
97
98
99
人数（人）
2
3
5
2
1
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）D组成绩的中位数是　97　分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？

【解答】解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，
补全条形统计图如右图所示：
（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，
第七个数据为中位数，是97，
故答案为：97；
（3）1200×＝690（人），
即该校成绩优秀的学生人数约有690人，
故答案为：690人．

一十九．列表法与树状图法（共2小题）
26．（2022•张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表
组别
时间x（分钟）
频数
A
0≤x＜20
6
B
20≤x＜40
14
C
40≤x＜60
m
D
60≤x＜80
n
E
80≤x＜100
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的m＝　18　，n＝　8　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）抽取的总人数为：14÷28%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，
故答案为：18，8；
（2）频数分布直方图补全如下：

（3）（人），
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
（4）列表如下：

男1
男2
女1
女2
男1

（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）

（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）

（女1，女1）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女1，女2）

由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率＝＝．
27．（2021•张家界）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有 　50人　；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是 　72°　；
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）本次抽取的学生总人数共有：20÷40%＝50（人），
故答案为：50人；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣16＝4（人），
条形统计图补全如下：

（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：360°×＝72°，
故答案为：72°；
（4）列表如下：

男1
男2
男3
女
男1

男1，男2
男1，男3
男1，女
男2
男2，男1

男2，男3
男2，女
男3
男3，男1
男3，男2

男3，女
女
女，男1
女，男2
女，男3

共有12种等可能的结果，抽取的两位学生恰好是一男一女的结果有6种，
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率为＝．