湖南省邵阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖南省邵阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共35页。试卷主要包含了﹣2﹣2sin60°，0﹣|﹣2|﹣tan60°，已知，在抛物线上等内容，欢迎下载使用。
湖南省邵阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•邵阳）计算：（π﹣2）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°．
2．（2021•邵阳）计算：（2021﹣π）0﹣|﹣2|﹣tan60°．
3．（2020•邵阳）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
4．（2020•邵阳）已知：|m﹣1|+＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
三．分式的化简求值（共2小题）
5．（2022•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
（+）÷．
6．（2021•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，2，+1中选择一个合适的x的值代入求值．（1﹣）÷．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
7．（2021•邵阳）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
8．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2020•邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
七．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
11．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

12．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

八．正方形的性质（共1小题）
13．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

九．正方形的判定（共1小题）
14．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．

一十．四边形综合题（共1小题）
15．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 　 　．
（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）

一十一．切线的性质（共1小题）
16．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．

一十二．切线的判定与性质（共1小题）
17．（2020•邵阳）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

一十三．圆锥的计算（共1小题）
18．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

一十四．几何变换综合题（共1小题）
19．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

一十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
20．（2020•邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

一十七．条形统计图（共2小题）
22．（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．

（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．

23．（2020•邵阳）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：


xx学校“停课不停学”网络学习时间调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
1平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
学习时间（小时）

A
0＜t≤1

B
1＜t≤3

C
3＜t≤5

D
t＞5


（1）本次接受问卷调查的学生共有　 　人；
（2）请补全图①中的条形统计图；
（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为　 　度；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？
一十八．中位数（共1小题）
24．（2021•邵阳）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•邵阳）计算：（π﹣2）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×
＝1+4﹣
＝5﹣．
2．（2021•邵阳）计算：（2021﹣π）0﹣|﹣2|﹣tan60°．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣）﹣
＝1﹣2+﹣
＝﹣1．
3．（2020•邵阳）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．
【解答】解：原式＝1+2+（﹣1）﹣2×
＝1+2+﹣1﹣
＝2．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
4．（2020•邵阳）已知：|m﹣1|+＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
【解答】解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0，
解得：m＝1，n＝﹣2，
（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn，
当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．
三．分式的化简求值（共2小题）
5．（2022•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
（+）÷．
【解答】解：原式＝•
＝，
又∵x≠﹣1，0，1，
∴x可以取，此时原式＝＝．
6．（2021•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，2，+1中选择一个合适的x的值代入求值．（1﹣）÷．
【解答】解：原式＝
＝，
又∵x≠±1，
∴x可以取0，此时原式＝﹣1；
x可以取2，此时原式＝1；
x可以取，此时原式＝．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
7．（2021•邵阳）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．
由题意得：，
解得：，
∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），
答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
8．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，
依题意得：，
解得：．
答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个．
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，
依题意得：（60﹣50）m+（100﹣80）（180﹣m）≥2900，
解得：m≤70．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2020•邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：，
解得：71≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．
七．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【解答】解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，

点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
11．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，
故上述两点关于抛物线对称轴对称，
故抛物线的对称轴为直线x＝（1+4）＝；

（2）①由题意得：，解得，
故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣3；
由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣x2+x+2；

②存在，理由：
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，
故点B、A的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），点C（0，2）；
∵tan∠BCO＝，
同理可得：tan∠CBO＝2，
当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，
则tan∠DOE＝2或，
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则tan∠DOE＝＝＝2或，
解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，
故m＝1或．
12．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；

（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，

∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC∽△CED．
∴．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．

（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；
当△BON∽△MDC，则，即，解得：；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON∽△MCD，则，即，
∴．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴，
解得t1＝（舍去），t2＝．
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴，无解；
当△BON∽△DCM，则，即，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得．
综上所示：当时，△BON∽△MDC；t＝时，△BON∽△MCD；时，△BON∽△DCM；

（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，

∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
∴，．
∴．
故A'Q+QN+DN的最小值为．
八．正方形的性质（共1小题）
13．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝，
故四边形BEDF的周长为8．
九．正方形的判定（共1小题）
14．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴菱形AECF是正方形．
一十．四边形综合题（共1小题）
15．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 　AF＝2DM　．
（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）

【解答】解：（1）猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∵M是CE的中点，
∴CE＝2DM，
∴AF＝2DM，
故答案为：AF＝2DM；

（2）①AF＝2DM仍然成立，
理由如下：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，
∵M是CE中点，
∴CM＝EM，
又∠CMN＝∠EMD，
∴△MNC≌△MDE（SAS），
∴CN＝DE＝DF，∠MNC＝∠MDE，
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB＝∠EDA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠BCD＝90°＝∠EDF，
∴∠ADF＝∠DCN，
∴△ADF≌△DCN（SAS），
∴AF＝DN，
∴AF＝2DM；
②∵△ADF≌△DCN，
∴∠NDC＝∠FAD，
∵∠CDA＝90°，
∴∠NDC+∠NDA＝90°，
∴∠FAD+∠NDA＝90°，
∴AF⊥DM；
③∵α＝45°，
∴∠EDC＝90°﹣45°＝45°
∵∠EDM＝2∠MDC，
∴∠EDM＝∠EDC＝30°，
∴∠AFD＝30°，
过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG＝90°﹣45°＝45°，

∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG＝k，则DG＝k，AD＝AG÷sin45°＝k，
FG＝AG÷tan30°＝k，
∴FD＝ED＝k﹣k，
故＝．
一十一．切线的性质（共1小题）
16．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．

【解答】解：（1）连接OA，

∵AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠BAO＝90°，
又∵AB＝AC，OA＝OC，
∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，
设∠ACB＝x°，则在△ABC中，
x°+x°+x°+90°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠ACB的度数为30°；
（2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝2π．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
17．（2020•邵阳）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AB＝AC，
∴∠OBA＝∠C，
∴∠OAB＝∠C，
∵∠CAD＝∠C，
∴∠OAB＝∠CAD，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠OAC＝∠BAD﹣∠OAB+∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AOC+∠C＝2∠B+∠C＝3∠C＝90°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝，
∴OB＝，
∴⊙O的半径为．

一十三．圆锥的计算（共1小题）
18．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．

（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．
一十四．几何变换综合题（共1小题）
19．（2021•邵阳）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，如答图1所示，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝，PC＝，PB＝，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP∽△B'DA．
∴＝＝．①
设B'D＝b，则CD＝b．
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，
由①＝得：＝．
解得：b＝．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．
又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．理由如下：
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，＝＝．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'＝＝，
∴PC＝CB'+PB'＝m+＝，
∴＝＝．
综上所述，的值为或．



一十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
20．（2020•邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，
∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝200m，
∴BO＝BB1﹣OB1＝200﹣62＝138m，CB2＝CC1﹣B2C1＝550﹣200＝350m，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝138m，
∴AB＝2BO＝2×138＝276m；
在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝350m，
∴BC＝CB2＝350，
∴AB+BC＝（276+350）m，
即管道AB和BC的总长度为：（276+350）m．

一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，

由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
一十七．条形统计图（共2小题）
22．（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．

（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．

【解答】解：（1）5÷12.5%＝40 （人），
答：此次共调查了40人；
（2）体育类有40×25%＝10（人），
文艺类社团的人数所占百分比：15÷40×100%＝37.5%，
阅读类社团的人数所占百分比：10÷40×100%＝25%，
将条形统计图补充完整如下：

（3）1600×12.5%＝200（人），
答：估计喜欢兴趣类社团的学生有200人．
23．（2020•邵阳）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：


xx学校“停课不停学”网络学习时间调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
1平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
学习时间（小时）

A
0＜t≤1

B
1＜t≤3

C
3＜t≤5

D
t＞5


（1）本次接受问卷调查的学生共有　100　人；
（2）请补全图①中的条形统计图；
（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为　18　度；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？
【解答】解：（1）15÷15%＝100（人）．
故答案为：100；

（2）如图，选B的人数：100﹣40﹣15﹣5＝40（人）．
条形图补充如下：


（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为：360°×＝18°．
故答案为：18；

（4）1500×＝600（人）．
故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有600人．
一十八．中位数（共1小题）
24．（2021•邵阳）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．

【解答】解：（1）∵样本容量为5÷0.05＝100，
∴a＝100×0.35＝35，m＝25÷100＝0.25；
（2）∵一共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在2≤t＜3范围内，
∴甲同学的周学习时间在2≤t＜3范围内；
（3）估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为2000×（0.25+0.15）＝800（人）．