2020-2021学年24.4 弧长及扇形的面积课时练习

24.4弧长和扇形面积人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 用一个半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，从一块直径是的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥那么这个圆锥的底面圆的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是斜边上的高线，以、、分别作半圆，如果只已知一条线段的长度即可求出图中的阴影部分面积，则这条线段可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到在此旋转过程中所扫过的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的直径，，点在半径上，，过作交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，则弧与弧的弧长之和为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图阴影部分为摆盘，通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，公园内有一个半径为米的圆形草坪，从地走到地有观赏路劣弧和便民路线段已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走米(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，分别以正三角形的个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为，则该莱洛三角形的周长为______．

12. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，其中、、为格点，作的外接圆，则的长等于______．

13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线______．

14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，在正方形中，是边上一点，若，以为直径作半圆．
    求证：与相切；
    若正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．

16. 如图，是的直径，，是上两点，且，连接，过点作交的延长线于点．
    判定直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求图中阴影部分的面积．

17. 如图，内接于，且，过作的平行线与的延长线交于点．
    求证：直线是的切线；
    若，，求图中阴影部分面积．

18. 如图，已知四边形中，，过，，三点的与相切．
    求证：是的切线；
    若的半径长为，求图中阴影部分的面积．

19. 如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求图中阴影部分的面积．

20. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的圆与相切于点，，点为与圆的交点，连接．
    求证：是圆的切线；
    若，图中阴影部分面积为，求圆的直径．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】
解：扇形的面积是：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查弧长计算、扇形面积计算，掌握好基本公式是解题关键．
扇形面积公式为，解得，设该扇形的圆心角的度数为，根据弧长公式即可得出结果．

【解答】

解：由可知．
设该扇形的圆心角的度数为，
则，
．

3.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长，
设侧面展开图的圆心角的度数为．
，
解得，
圆锥的侧面展开图，如图所示：

最短路程为：，
故选D．
易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．
 

4.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故小圆锥的底面半径为．
故选：．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

5.【答案】 

【解析】解：的直径为，则半径是：，
，
连接、，根据题意知，，
在中，，
即扇形的对应半径，
弧长，
设圆锥底面圆半径为，则有
，
解得：．
故选：．
首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

6.【答案】 

【解析】解：




，
是斜边上的高线，
，
只要已知的长即可，
故选：．
根据扇形面积的计算方法得出，再根据射影定理得到即可得出答案．
本题考查扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握扇形面积的计算方法以及射影定理是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所扫过的面积，
故选：．
根据勾股定理得到，然后根据扇形的面积和三角形的公式即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
，，
，
在和中
，
≌，
，
而，
，
弧与弧的弧长之和．
故选：．
连接、，如图，先证明≌得到，则，然后根据弧长公式计算弧与弧的弧长之和．
本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，，
是等边三角形，
，
，
故选：．
首先证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可．
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：作于，如图，，

则，
，
，
在中，米，
米，
米，
又米，
走便民路比走观赏路少走米，
故选：．
作于，如图，根据垂径定理得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到和，可得，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了等边三角形的性质．直接利用弧长公式计算即可．
【解答】
解：该莱洛三角形的周长．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：连接

每个小方格都是边长为的正方形，
，，，
，，
，
为的直径，为等腰直角三角形，
，

，
的长为：，
故答案为：

根据勾股定理分别计算出，，，从而得到，，根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆周角定理可得为的直径，由、、长可推导出为等腰直角三角形，连接，得出，计算出的长就能利用弧长公式求出的长了．
本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】
解：圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，圆心为，连接，，，．

，，
的长．
故答案为：．
如图，圆心为，连接，，，利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型．
 

15.【答案】证明：连接并延长与的延长线交于，
过作于，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，，
，
与相切；
解：设，
正方形的边长为，
，，
，
，
，
，，
图中阴影部分的面积． 

【解析】连接并延长与的延长线交于，过作于，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
设，根据已知条件得到，，根据勾股定理得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出正方形是解题的关键．
 

16.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，连接交于，

，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积． 

【解析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键，有一定难度．
连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，连接交于，根据垂径定理得到，，由圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，连接，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
 

17.【答案】证明：如图，连接并延长交于，
，内接于，
所在的直线是的对称轴，也是的对称轴，
，

，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：连接，
，，
∽，
，
 由可知是的对称轴，
垂直平分，
，
设半径为，在中，由勾股定理得，
，
，
解得取正值，
经检验是原方程的解，
即，
又，
是等边三角形，
，，


． 

【解析】连接，证明即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；
求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】证明：连接，，，

，
，
与相切于点，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，，
≌，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积


，
阴影部分的面积为 

【解析】连接，，，利用圆周角定理可得，利用切线的性质可得，从而利用四边形的内角和可得，即可解答；
利用的结论可证≌，从而利用全等三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
  即：，
，
又是半径，
与相切；
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积． 

【解析】根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，与相交于点，
与相切于点，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线；
连接，
，，是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
设的半径为，
，
，
圆的直径为． 

【解析】欲证明是的切线，只要证明，可以证明≌解决问题．
首先证明，然后利用扇形面积公式计算即可．
本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式，记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．