14.2乘法公式 人教版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

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14.2乘法公式人教版初中数学八年级上册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，，故，都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是(    )A.  B.  C.  D. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”如，已知智慧数按从小到大顺序构成如下数列：、、、、、、、、、、、、、、、、、，则第个智慧数是(    )A.  B.  C.  D. 在，，，这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是(    )A.  B.  C.  D. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图，我们可以得到两数和的平方公式：根据图，你能得到的数学公式是(    )
A.  B.
C.  D. 如果多项式是完全平方式，则常数的值为(    )A.  B.  C.  D. 下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 如图，两个正方形的边长分别为，，如果，，则阴影部分的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 若是一个完全平方式，则常数的值为(    )A.  B.  C.  D. 或如果，那么的值为(    )A.  B.  C.  D. 或将张长为、宽为的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为若，则，满足(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积______．
 若是关于的完全平方式，则______．若是完全平方式，则______．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为的长方形面积相等，则这个长方形的宽为______．
   三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】若，，求的值；
【类比应用】填空：若，则______；
若，则______；
【知识迁移】两块全等的特制直角三角板如图所示放置，其中，，在一直线上，连接，若，，求一块直角三角板的面积．
 
如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
若，利用中的结论，求的值；
若，求的值．
【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方
形，乙种纸片是边长为的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示．
【理解应用】观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】利用中的等式解决下列问题．
已知，，且，求的值；
已知，求的值．
 
如图，将一个边长为的大正方形分割成两个大小不同的正方形及两个相同的长方形四部分，请认真观察图形，解答下列问题：
请用两种方法表示图中阴影部分的面积；用含、的代数式表示
______；______．
若图中、满足，，求的值．
如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形．
求拼成新矩形的周长用含或的代数式表示；
当，时，求拼成新矩形的面积．
把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，；所以，；所以，；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，，求的值；
若，，则______．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键．
根据数字的特点，分别将、和写成两个正整数的平方差的形式，而不能写成两个正整数的平方差的形式，则问题得解．
【解答】
解：因为，
，
，
不能表示成两个正整数的平方差．
所以、和是“创新数”，而不是“创新数”．  2.【答案】 【解析】解：观察可知，智慧数按从小到大顺序可按个数分一组，从第组开始每组的第一个数都是的倍数，
第组的第一个数为，且为正整数．
，
第个智慧数是第组中的第个数，即为．
故选：．
观察可知，智慧数按从小到大顺序可按个数分一组，从第组开始每组的第一个数都是的倍数，则第组的第一个数为，且为正整数，用除以可知是第组的第个数，用乘以即可得出答案．
本题考查了平方差公式及数字的规律问题，正确得出题中的数字规律是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查平方差公式的应用．由平方差公式可知，两个整数的平方差可分解为两个整数的积，且两个因数同为奇数可同为偶数，由此求解即可．【解答】解：，，，而，由知，与的奇偶性相同，与一奇一偶，不能表示为两个数的平方差．故选C．  4.【答案】 【解析】略
 5.【答案】 【解析】解：，
，
故选A．
根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是，平方即可．
本题考查了对完全平方公式的应用，由乘积二倍项确定做完全平方运算的两个数是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，
的计算正确；
，
的计算不正确；
，
选项的计算不正确；
，
选项的计算不正确，
综上，计算正确的是，
故选：．
利用同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全平方公式对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
把，代入得：
原式．
故选：．
用和表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部分面积．
考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法．
 8.【答案】 【解析】因为是一个完全平方式，所以，解得或．
 9.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式化简，计算即可求出的值．
【解答】
解：，即，
则或，
故选D．  10.【答案】 【解析】解：由题意得：
，
，
，

，
，
，
舍，或．
故选：．
先用含有、的代数式分别表示出和，再根据得到关于、的等式，整理即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：由题知，，．
，
，
，
，，，
阴影部分面积




．
故答案为：．
由长方形的周长，面积为，确定，，通过观察图形分别用含有和的式子表示出阴影部分的面积、、，然后整理化简，通过完全平方公式计算出，从而求出值．
本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出和的形式是本题的关键，由和，利用完全平方公式变形计算出，从而求出面积．
 12.【答案】或 【解析】解：是关于的完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或．
直接利用完全平方公式的定义得出，进而求出答案．
此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：因为是完全平方式，
可得：，
解得：，
故答案为：
根据完全平方公式：进行配方解得即可．
本题考查了完全平方式，关键是根据两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式分析．
 14.【答案】 【解析】解：设长方形的宽为，
．
．
．
故答案为：．
用两种方法表示阴影部分面积即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示阴影部分面积是求解本题的关键．
 15.【答案】，   【解析】解：，，
，
答：；
设，，则，，



，
故答案为：；
设，，则，，


，
故答案为：；
设，，
，，
，，
即，，

，
即，
，
答：一块直角三角板的面积为．
根据完全平方公式的变形可得答案；
设，，则，，由进行计算即可；
设，，则，，由矩形计算即可；
设，，由题意可得，，，由求出的值即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
 16.【答案】解：．
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，则图中个小长方形面积的和为：；图中个小长方形面积的和为：；由此得出：．
由中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
，
由中的结论可知，，看作，看作，则 ． 【解析】通过观察图形找到、、表示的图形面积，从图形面积之间的关系找到．
、分别是中的、，通过观察先求出的平方的值，再开方求得结果．
根据已知条件把变形为，把看作，看作，再应用中的结论，求得结果．
本题是通过观察图形面积间的关系找到代数式之间的等量关系，进而运用找到的等量关系解决计算问题．其中渗透了数形结合思想，将代数式之间的等量关系用图形面积直观地表示出来．
 17.【答案】解：图中大正方形的面积为：，
还可以表示为：，
；
，
，
，
，
，，
，
，
．
设，，
则，，
原式
． 【解析】根据面积关系写恒等式．
利用中等式求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积得到代数恒等式是求解本题的关键．
 18.【答案】   【解析】解：图的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图中的阴影部分也可以看作是大正方形的面积减去其它三块的面积，即，
故答案为：，；
由得，，
当，时，，
所以．
利用“算两次”的方法，分别计算意义部分的面积，即阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，也可以看作是大正方形的面积减去其它三块的面积，即；
由得出，整体代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，“算两次”的方法是解决问题的关键．
 19.【答案】解：新矩形的长为：，
新矩形的宽为：，
新矩形的周长．
新矩形的面积为：，
把，代入，
即拼成新矩形的面积是． 【解析】根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．
把，代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可．
此题考查列代数式问题，关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．
 20.【答案】 【解析】解：，
，
即，
又，
，
；
，，

，
．
故答案为：．
根据完全平方公式的变形为代入计算即可；
根据，再代入计算即可；
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．