人教版（2024）八年级上册14.2 乘法公式综合与测试教学设计及反思

这是一份人教版（2024）八年级上册14.2 乘法公式综合与测试教学设计及反思，共12页。

课时目标
1.经历探索平方差公式的过程.进一步发展学生的符号感、推理能力和模型意识.
2.能运用公式进行简单的运算,进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识,感悟整体思想.
3.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动中的探索性和创造性.
学习重点
平方差公式的运算法则.
学习难点
平方差公式的运算法则的灵活应用.
课时活动设计
情境引入
丽丽去商店买了单价是9.8元的糖果10.2千克,售货员刚拿起计算器,丽丽就说出应付99.96元,结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说:“你好像是个神童,怎么算得这么快?”
丽丽说:“过奖了,我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
猜想丽丽运用了什么数学公式?大家会用什么方法计算应付全额?
设计意图:用学生身边的事做例子,符合他们的生活经验,激发了学习兴趣.
探究新知
问题1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1)- x2-1 ;(2)(m+2)(m-2)= m2-4 ;(3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 .
解:规律为:左边为两个数的和与两个数差的积,右边为这两个数的平方差.
追问:你能用语言叙述你发现的规律,并用数学符号表示出来吗?说说你的猜想.
师生活动:教师鼓励学生小组讨论,总结规律.
运用符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2.
问题2:你能借助图形的面积,说明猜想的正确性吗?
学生小组合作,完成拼剪活动,利用几何图形面积的相等关系,验证平方差公式:
左图中蓝色区域面积=大正方形-小正方形=a2-b2;
右图中蓝色区域面积=长×宽=(a+b)(a-b);
得到(a+b)(a-b)=a2-b2.
师生共同归纳得出公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式叫做平方差公式.
师生活动:教师强调公式中的a,b既可以表示单项式,也可以表示具体的数或多项式.
在此基础上,教师引导学生用语言叙述公式并总结公式结构特征.
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
结构特征:
(1)公式中的a和b,既可以是具体的数,也可以是单项式或者多项式;
(2)左边是两个二项式的积,并且有一项完全相同,另一项互为相反数;
(3)右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
设计意图:由特殊到一般,通过引导,与学生共同抽象概括出平方差公式.利用几何图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证平方差公式,渗透数形结合思想,让学生体会代数与几何的内在联系,引导学生从多角度、多方面思考问题.
典例精讲
例1 计算:
(1)(3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y).
解:(1)原式=(3x)2-22=9x2-4. (2)原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
例2 计算:
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (2)102×98.
解:(1)原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
(2)原式=(100+2)(100-2)=1002-22=10 000-4=9 996.
例3 先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
解:原式=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2.
当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15.
设计意图:本环节设置了两种类型的题.一类为混合运算,让学生理解一般形式的乘法运算与特殊形式的乘法运算的区别和联系;一类为简便运算,强调只有符合公式结构特点的乘法,才能用公式简化运算,进一步发展学生的模型意识.
巩固训练
1.利用平方差公式计算:
(1)(3+2a)(-3+2a); (2)(a+3b)(a-3b); (3) (-2x2-y)(-2x2+y).
解:(1)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9.
(2)原式=(a)2-(3b)2=a2-9b2.
(3)原式=(-2x2)2-y2=4x4-y2.
2.利用平方差公式计算:
(1) (a-2)(a+2)(a2+4); (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解:(1)原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.
(2)原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.
3.先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2.
解:原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1.
将x=2代入上式,原式=2×22-1=7.
设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.
课堂小结
1.两数 和 与这两数 差 的 积 ,等于这两个数的 平方差 .
2.(a+b)(a-b)= a2-b2 .
设计意图:通过课堂小结,及时巩固平方差公式的定义,加深学生对平方差公式的理解和掌握,为后面的学习打好基础.
课堂8分钟.
1.教材第112页习题14.2第1题.
2.七彩作业.
教学反思

14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
课时目标
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.
2.能运用公式进行简单的运算,进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识,渗透整体、数形结合、类比的数学思想.
3.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动中的探索性和创造性.
学习重点
完全平方公式的推导和运用.
学习难点
理解完全平方公式的结构特征,灵活运用公式.
课时活动设计
情境引入
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
设计意图:通过任务助推教学方式,让学生带着问题去学习,帮助学生沟通新旧知识之间的联系,促进知识的迁移.
探究新知
问题1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1;
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-4m+4.
师生活动:教师组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项,猜测它们的共同特点.
分成小组,学生交流并且讨论后回答:
解:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
教师引导学生用文字概括这个规律:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
问题2:如果将该正方形田地的边长增加或者缩减b米生成新正方形,则新正方形的边长是多少?怎么表示新正方形各部分的面积?怎么表示新正方形的面积?
师生活动:学生小组讨论,选择三个小组代表分别回答三个问题.
1.新正方形的边长=a+b.
2.大正方形的面积=a2;长方形的面积=ab;小正方形的面积=b2.
3.①面积法求得新正方形的面积=(a+b)2;②通过新正方形各部分的面积相加求得新正方形的面积=a2+2ab+b2.
教师和学生共同讨论第三个问题,得到:(a+b)2=a2+2ab+b2.
教师总结完全平方公式:
文字叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
符号叙述:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
设计意图:教师引导学生思考如何用图形面积来探究完全平方公式.通过设问,降低难度,引导学生通过表示各部分的面积和整体的面积验证完全平方公式,体会完全平方公式的几何背景.
典例精讲
例1 运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2;(2)y-122.
解:(1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)原式=y2-2·y·12+122=y2-y+14.
例2 运用完全平方公式计算:
(1)1022;(2)992.
解:(1)原式=(100+2)2=10 000+400+4=10 404.
(2)原式=(100-1)2=10 000-200+1=9 801.
例3 已知x-y=6,xy=-8.求:
(1)x2+y2的值;(2)(x+y)2的值.
解:(1)x2+y2=(x-y)2+2xy=62+2×(-8)=20.
(2)(x+y)2=(x-y)2+4xy=62+4×(-8)=4.
设计意图:数学运算是数学知识最直接的应用,也是体现公式优越性的实例,对计算题的讲解有利于学生掌握本节课所学知识,通过设置不同类型的题目,加深学生对知识的理解,拓展学生的思维.
巩固训练
1.运用完全平方公式计算:
(1)(6a+5b)2= 36a2+60ab+25b2 ;(2)(4x-3y)2= 16x2-24xy+9y2 ;
(3)(2m-1)2= 4m2-4m+1 ;(4)(-2m-1)2= 4m2+4m+1 .
2.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解:∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②,得4xy=48.∴xy=12.
设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.
课堂小结
这节课你有什么收获?
1.(a+b)2= a2+2ab+b2 ;(a-b)2= a2-2ab+b2 .
2.a2+b2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2 +2ab .
3.(a+b)2-(a-b)2= 4ab .
设计意图:总结出本节课的主要知识点,加深学生对完全平方公式的理解和掌握.
课堂8分钟.
1.教材第112页习题14.2第2题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 添括号法则
课时目标
1.掌握添括号法则,培养学生学习数学的信心,感受数学的内在美.
2.熟练运用添括号法则,渗透类比、转化和整体思想.
3.会运用法则进行整式变形,使学生进一步灵活运用乘法公式进行计算,发展模型意识.
学习重点
通过添括号,构造公式结构形式,运用公式计算.
学习难点
灵活运用乘法公式.
课时活动设计
回顾引入
复习已学过的乘法公式:
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
同学们,你会计算(x+2y-3)(x-2y+3)吗?带着这个问题,我们走进今天的课堂.
设计意图:引导学生回忆平方差公式和完全平方公式,进一步巩固平方差公式中的相同项和相反项以及公式中a和b的意义.通过任务助推教学活动,让学生带着问题去学习,帮助学生体会新旧知识之间的联系,促进知识的迁移.
探究新知
去括号法则
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则.
(1)a+(b+c)= a+b+c .
(2)a-(b-c)= a-b+c .
师生活动:师生共同回忆去括号法则,强调遇加不变,遇减都变,为学习添括号做好知识储备.
教师引导:把上面两个等式的左右两边反过来,也就是添括号.同学们可不可以总结出添括号法则呢?
学生总结:(1)a+b+c=a+(b+c).
(2)a-b+c=a-(b-c).
添括号其实就是把去括号反过来,所以添括号法则是:
①添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;
②如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
设计意图:通过对比去括号法则,让学生自主推导得出添括号法则,完成从去括号到添括号的过渡,体会添括号法则与去括号法则是互逆变形的过程,培养学生的逆向思维.
典例精讲
例1 运用乘法公式计算:
(1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2.
解:(1)原式=[x+(2y-3)] [x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12xy+9)=x2-4y2+12xy-9.
(2)原式=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
例2 计算:
(1)(a-b+c)2; (2) (1-2x+y)(1+2x-y).
解:(1)原式=[(a-b)+c]2=(a-b)2+c2+2(a-b)c=a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc.
(2)原式=[1-(2x-y)][1+(2x-y)]=12-(2x-y)2=1-4x2+4xy-y2.
设计意图:学生独立完成,教师巡视指导.本题旨在让学生熟练运用法则简化运算,进一步突出重点、难点,培养学生的发散思维,引导学生理清知识点的本质,也让学生在解题过程中获得成功的体验.
巩固训练
1.对整式-a+2b-c添括号,正确的是( A )
A.-(a-2b+c) B.-(a-2b-c) C.-(a+2b-c) D.-(a+2b+c)
2.不改变x+(y-z)的值,把括号前的“+”变成“-”,其结果正确的是( D )
A.x-(y-z) B.x-(-y-z) C.x-(y+z) D.x-(-y+z)
3.计算:
(1)(3a+b-2)(3a-b+2); (2)(x-y-m+n)(x-y+m-n).
解:(1)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)]=(3a)2-(b-2)2=9a2-b2+4b-4.
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]=(x-y)2-(m-n)2=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时发现错误并纠正.
课堂小结
1.你在本节课中有哪些收获?
2.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
设计意图:通过课堂小结,强化添括号法则的记忆,加深学生对添括号法则的理解和掌握,为以后的学习打好基础.
课堂8分钟.
1.教材第112页习题14.2第3题.
2.七彩作业.
教学反思