初中数学13.4课题学习 最短路径问题精品课后作业题

13.4课题学习最短路径问题人教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. ，是两个居民小区，快递公司准备在公路上选取的点处建一个服务中心，使最小下面四种选址方案符合要求的是(    )

A. A. B.
C.  D.

2. 如图，在中，，，、为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则：的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在如图所示的的正方形网格中，有、两点，在直线上求一点，使最小，则点应选在(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

4. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为(    )

A.
B. ．
C.
D.

5. 直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，分别向，两村供水现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，是的角平分线，的面积为，的长为，点，分别是，上的动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

7. 如图，在四边形中，，，点，分别是线段，上的动点．当的周长最小时，则的度数为______．

8. 如图，中，，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是______．

9. 如下图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为          ．

10. 如图，、分别是线段、的垂直平分线，，，，一只小蚂蚁从点出发爬到边上任意一点，再爬到边上任意一点，然后爬回点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为          ．

三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）

11. 如图，中，，以为边在上方作正方形，过点作，交的延长线于点，连接．
    求证：≌；
    ，分别为，上的动点，连接，，若，，求的最小值．

12. 如图，点为马厩，为草地边缘下方为草地，为一河流，牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩请帮他确定一条最佳行走路线．

13. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点，若，，，
    求的最小值，并说明理由；
    求周长的最小值．

14. 如图，是内部的一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，如何取点才能使该四边形的周长最小

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】
解：根据题意得，在公路上选取点，使最短．
则选项A 符合要求，
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，．

，，
，
，关于对称，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在和中，
，
≌，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为线段的长，
当点在上时，取得最小值，
此时：在和中，
，
≌，
，
，
，
：的值为，
故选：．
作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，，由“”可证≌，可得，可得当点在上时，取得最小值，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，确定点的位置是本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，首先求得点关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【解答】
解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，
则与直线的交点即为点，
此时最小，

与直线交于点，
点应选在点．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】如图，过作，交于，交于，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
是边上的中线，是等边三角形，
，
，
，
，
和关于所在直线对称，
连接交于，连接，则此时的值最小，
是等边三角形，，
，
故选C．

 

5.【答案】 

【解析】略
 

6.【答案】 

【解析】如图，作点关于的对称点．
是的角平分线，点一定在上．
过作于，交于，连接，
此时的值最小，的最小值．
过作于．
的面积为，的长为，
，
垂直平分，
，
，
，
的最小值是，故选B．
 
 

7.【答案】 

【解析】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：

过点作于点，交于点，
过点作于点，
平分，
，
．
中，，，，，，


．
故答案为．
先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值．
本题考查了最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和．
 

9.【答案】 

【解析】 如图，连接，
 

垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，
即当取最小值时，，
的最小值为，
周长的最小值，
故答案为．

10.【答案】 

【解析】当与的交点为，与的交点为时，小蚂蚁爬行的路径最短．
、分别是线段、的垂直平分线，
，，
小蚂蚁爬行的路径最短为．
 

11.【答案】证明：中，，，
．
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌；
解：≌，
，，
．
如图，连接，

是正方形顶点与顶点的对称轴，
．
如使得最小，只需、、在一条直线上，
由于点、分别是和上的动点，
作，交于点，垂足为，
所以，的最小值等于． 

【解析】根据正方形的性质得出，，进而得出，因为根据即可证得结论；
根据正方形的性质，如使得最小，只需、、在一条直线上，根据垂线段最短，作，交于点，垂足为，则的最小值等于．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】解：如图所示．

作法：分别作点关于，的对称点，

连接，分别交，于点，

分别连接，．

，，且点，，，在同一条直线上，

，

的长即为最小路程．

为最佳行走路线．

【解析】本题考查的作图与应用设计作图，根据轴对称确定最短路线是解题的关键．
分别画出点关于、的对称点，，连接，则的长即为最小路程．
 

13.【答案】解：；
原因：两点之间，线段最短；
是的垂直平分线，点在上，
点关于直线的对称点是点，
则，
，
，
要使周长最小，
即最小，
当点是与的交点时，最小，
即，此时． 

【解析】根据线段的性质即可得到结论；
根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，值的最小，求出长度即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置．
 

14.【答案】解：如图，作关于射线所在直线的对称点，再作关于射线所在直线的对称点，连接交于，交于，连接，，则四边形即为所求．

【解析】见答案