高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习题

5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

基础过关练　　　 　　　　　　　　　　

题组一　给角求值

1.(2020浙江义乌期末)cos 52°cos 7°+sin 52°·sin 7°=(　　)

A.-　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

2.(2022四川乐山期末)sin 20°cos 25°+sin 70°cos 65°=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1

3.计算:sin 60°+cos 60°=　　　　. 

4.化简:=　　　　.  

题组二　给值求值

5.(2022山西太原期末)已知sin(α+60°)=,30°<α<120°,则cos α=(　　)

A.　　　　　　B.-

C.　　　　　　D.-

6.(2020山东淄博桓台一中期中)已知cos=-,则cos x+cos的值是(　　)

A.-　　　　　　B.±     C.-1　　　　　　D.±1

7.(多选)(2022山东聊城一中期末)已知cos α=,cos(α+β)=-,则cos β的值可能为(　　)

A.-　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D.

8.(2022山东烟台期末)已知α∈,cos=,则cos α的值为　　　　. 

9.(2022广西河池期末)已知2cos α-cos β=,2sin α-sin β=2,则cos(α-β)=　　　　. 

题组三　给值求角

10.若α∈[0,π],cos cos +sin sin =0,则α的值是(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

11.若cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,则α+β的值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

12.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　cos 52°cos 7°+sin 52°sin 7°=cos(52°-7°)=cos 45°=.故选B.

2.B　sin 20°cos 25°+sin 70°cos 65°=cos 70°cos 25°+

sin 70°sin 25°=cos(70°-25°)=cos 45°=.故选B.

3.答案　

解析　原式=sin 30°sin 60°+cos 30°cos 60°

=cos(60°-30°)=cos 30°=.

主编点评　本题是两角差的余弦公式的逆用,将题目中的和分别替换为sin 30°和cos 30°,成功构造出两角差的余弦的结构.

4.答案　

解析　

=

=

=.

5.A　∵30°<α<120°,∴90°<α+60°<180°,

又sin(α+60°)=,∴cos(α+60°)=-,

∴cos α=cos[(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos 60°+sin(α+60°)sin 60°=-×+×=.

故选A.

6.C　∵cos=cos x+sin x=-,

∴cos x+cos=cos x+sin x=×=×=-1.故选C.

7.AC　因为cos α=,所以sin α=±=±.

又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=±=±,cos(α+β)cos α=-×=-.易得cos β=cos [(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,

当sin α与sin(α+β)同号时,sin(α+β)sin α=,

则cos β=-,

当sin α与sin(α+β)异号时,sin(α+β)sin α=-,

则cos β=-,

所以cos β的值为-或-.故选AC.

8.答案　

解析　因为α∈,

所以<α+<,

又cos=,

所以sin==,

所以cos α=cos

=coscos+sinsin

=×=.

9.答案　-

解析　由题意得(2cos α-cos β)2

=4cos2α-4cos α·cos β+cos2β=,

(2sin α-sin β)2=4sin2α-4sin α·sin β+sin2β=4,

两式相加,得5-4(cos αcos β+sin αsin β)=5-4cos(α-β)=,故cos(α-β)=-.

10.D　因为cos cos +sin sin =0,

所以cos=0,即cos α=0.

又α∈[0,π],所以α=.故选D.

11.C　∵cos(α-β)=,cos 2α=,α∈,β∈,

∴α-β∈,2α∈,

∴α+β∈(0,π),sin(α-β)=-,sin 2α=,

∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+×=-,

∵α+β∈(0,π), ∴α+β=.

12.解析　由条件得sin α=,sin β=,

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

=×+×=,

又α-β∈,

∴α-β=±,

∵α,β均为锐角,且cos α>cos β,

∴α<β,则α-β=-.