【2023届必备】2023版高考一轮复习训练12　同角三角函数基本关系式与诱导公式

训练12　同角三角函数基本关系式与诱导公式

一、单选题

1．(2022·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，若点A与点B(2,1)关于直线y＝x对称，则sin∠AOx等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由题意知A(1,2)，则sin∠AOx＝＝.

2．若cos＝，则sin等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　∵cos＝，

∴sin＝sin

＝cos＝.

3．(2022·南京模拟)密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00,1直角＝15－00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密位制表示为(　　)

A．12－50   B．17－50

C．21－00   D．35－00

答案　B

解析　设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n，则α×22＝π，解得α＝π，

由题意可得＝，

解得n＝×6 000＝1 750，

因此，该扇形圆心角用密位制表示为17－50.

4．(2022·安庆模拟)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

答案　A

解析　因为3sin＋sin(θ＋π)＝0，

所以3cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝＝3，

因为θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，

所以sin θ＝－.

二、多选题

5．已知sin θcos θ＝，<θ<2π，则(　　)

A．θ的终边在第三象限

B．sin θ＋cos θ＝

C．sin θ－cos θ＝0

D．tan θ＝－1

答案　AC

解析　因为sin θcos θ＝，<θ<2π，则θ为第三象限角，A正确；

由题意得sin θ<0，cos θ<0，B错误；

因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝0，

故sin θ－cos θ＝0，C正确；

结合选项C可知tan θ＝1，D错误．

6．(2022·岳阳模拟)若函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的一个周期为2π

B．f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在区间上单调递减

答案　ABC

解析　由题意，函数f(x)＝cos，可得f(x)的最小正周期为T＝＝2π，所以A正确；

当x＝时，可得f ＝cos＝cos 3π＝－1，所以x＝是函数f(x)的其中一条对称轴，所以B正确；

由f(x)＝cos，可得f(x＋π)＝cos＝－cos，

令f(x＋π)＝0，即cos＝0，

解得x＝＋kπ，k∈Z，

当k＝0时，可得x＝，即x＝是函数f(x＋π)的一个零点，所以C正确；

由x∈，可得x＋∈，

当x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减；

当x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增，所以D不正确．

三、填空题

7．(2022·洛阳模拟)已知角α的终边过点(－2,1)，则sin αcos α的值是________．

答案　－

解析　角α的终边过点(－2,1)，sin α＝，cos α＝，故sin αcos α＝×＝－.

8．(2022·江淮十校质检)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.

答案　－

解析　∵点P的纵坐标为－6，且cos α＝－<0，

∴角α的终边落在第三象限，

∴sin α＝－，tan α＝，

∴＋＝－＋＝－＝－.

四、解答题

9．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．

解　因为sin α＝>0，

所以α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋＝tan α＋

＝＋＝.

当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝；

当α是第二象限角时，

cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

10．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

解　(1)由sin x＋cos x＝，

等式两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由x∈(－π，0)，知sin x<0，

又sin x＋cos x>0，

所以cos x>0，sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝

＝＝

＝－.