高考数学一轮复习　第四章 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式

这是一份高考数学一轮复习　第四章 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式，共14页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，化简等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( )
解析 (1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝eq \f(1,3)，
当k为偶数时，sin α＝－eq \f(1,3).
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修4P21A12改编)已知tan α＝－3，则cs2α－sin2α＝( )
A.eq \f(4,5) B.－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D.－eq \f(3,5)
解析 由同角三角函数关系得
cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－9,1＋9)＝－eq \f(4,5).
答案 B
3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，则cs (π＋α)＝( )
A.－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
解析 因为α为锐角，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5)，
故cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(3,5).
答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cs α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A.－eq \f(7,9) B.－eq \f(2,9) C.eq \f(2,9) D.eq \f(7,9)
解析 ∵(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(7,9).
答案 A
5.(2019·济南质检)若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α＝( )
A.eq \f(12,5) B.－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D.－eq \f(5,12)
解析 ∵sin α＝－eq \f(5,13)，α为第四象限角，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13)，因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12).
答案 D
6.(2018·上海嘉定区月考)化简：eq \f(sin2(α＋π)·cs(π＋α)·cs(－α－2π),tan(π＋α)·sin3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·sin(－α－2π))＝________.
解析 原式＝eq \f(sin2α·(－cs α)·cs α,tan α·cs3α·(－sin α))＝eq \f(sin2αcs2α,sin2αcs2α)＝1.
答案 1
考点一 同角三角函数基本关系式 多维探究
角度1 公式的直接运用
【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sin α＝－eq \f(1,3)，则cs α＝( )
A.－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C.±eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2,3)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,4)))，且sin α＝－eq \f(1,3)>－eq \f(\r(2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))，所以α为第三象限角，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3).
答案 A
角度2 关于sin α，cs α的齐次式问题
【例1－2】 已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值.
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
解 由已知得tan α＝eq \f(1,2).
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
(2)sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq \f(13,5).
角度3 “sin α±cs α，sin αcs α”之间的关系
【例1－3】 已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝eq \f(1,5).
(1)求sin x－cs x的值；
(2)求eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)的值.
解 (1)由sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
所以(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25).
由x∈(－π，0)，知sin x0，
所以cs x>0，则sin x－cs x