高考数学一轮复习 第8章 第5节 椭　圆

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1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝
( )
A．2B．3
C．4D．9
B [由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
B [如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·eq \f(b,2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).]
5．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．
3 [直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，
此时，|AB|＝2×eq \f(b2,a)＝eq \f(2×3,2)＝3，
∴S△FAB＝eq \f(1,2)×2×3＝3.]
(1)如图8­5­1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
【导学号：31222310】
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线D．圆
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(00，A≠B)的形式．
[变式训练1] (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \(PF1,\s\up8(→))⊥eq \(PF2,\s\up8(→)).
若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．
(1)3 (2)eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 [(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且eq \(PF1,\s\up8(→))⊥eq \(PF2,\s\up8(→))，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)×2b2＝9，因此b＝3.
(2)依题意，设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，
∴点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))必在椭圆上，
∴eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1.①
又由c＝1，得1＋b2＝a2.②
由①②联立，得b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.]
(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
A [法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝eq \f(y0,a－c)，从而直线AM的方程为y＝eq \f(y0,a－c)(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝eq \f(ay0,a－c).
同理，OE的中点N的纵坐标yN＝eq \f(ay0,a＋c).
∵2yN＝yE，∴eq \f(2,a＋c)＝eq \f(1,a－c)，即2a－2c＝a＋c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).
法二：如图，设OE的中点为N，由题意知
|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a.
∵PF∥y轴，
∴eq \f(|MF|,|OE|)＝eq \f(|AF|,|AO|)＝eq \f(a－c,a)，eq \f(|MF|,|ON|)＝eq \f(|BF|,|OB|)＝eq \f(a＋c,a).
又eq \f(|MF|,|OE|)＝eq \f(|MF|,2|ON|)，即eq \f(a－c,a)＝eq \f(a＋c,2a)，
∴a＝3c，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).]
[规律方法] 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．
2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
[变式训练2] (2015·福建高考)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋－42))≥eq \f(4,5)，所以1≤bb>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，点(2，eq \r(2))在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意有eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(4,a2)＋eq \f(2,b2)＝1，
解得a2＝8，b2＝4.3分
所以C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.5分
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分
将y＝kx＋b代入eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.9分
故xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2kb,2k2＋1)，yM＝k·xM＋b＝eq \f(b,2k2＋1).
于是直线OM的斜率kOM＝eq \f(yM,xM)＝－eq \f(1,2k)，
即kOM·k＝－eq \f(1,2).
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分
[规律方法] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．
[思想与方法]
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝eq \f(c,a)求得；
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[易错与防范]
1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．
3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
课时分层训练(四十九) 椭 圆
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( ) 【导学号：31222312】
A．4 B．3
C．2D．5
A [由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
【导学号：31222313】
A.eq \f(1,3)B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2)D.eq \f(1,2)
B [原方程化为eq \f(x2,\f(m,2))＋eq \f(y2,\f(m,3))＝1(m>0)，
∴a2＝eq \f(m,2)，b2＝eq \f(m,3)，则c2＝a2－b2＝eq \f(m,6)，
则e2＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \f(\r(3),3).]
3．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
( )
【导学号：31222314】
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
D [设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1，故选D.]
4．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))的最大值为( )
A．2B．3
C．6D．8
C [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则eq \(OP,\s\up8(→))＝(x，y)，eq \(FP,\s\up8(→))＝(x＋1，y)，∴eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∴y2＝3－eq \f(3,4)x2，
∴eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))有最大值6.]
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
B.eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1
D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
A [∵eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4eq \r(3)，
∴4a＝4eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)，∴b＝eq \r(2)，
∴椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.]
二、填空题
6．已知椭圆的方程是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,25)＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为__________．
4eq \r(41) [∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．
∵|F1F2|＝8，∴c＝4，
∴a2＝25＋c2＝41，则a＝eq \r(41).
由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，
∴△ABF2的周长为4a＝4eq \r(41).]
7．(2017·湖南长沙一中月考)如图8­5­3，∠OFB＝eq \f(π,6)，△ABF的面积为2－eq \r(3)，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．
图8­5­3
eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 [设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝eq \f(π,6)，∴eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3),3)，a＝2b.
∴S△ABF＝eq \f(1,2)·|AF|·|BO|＝eq \f(1,2)(a－c)·b＝eq \f(1,2)(2b－eq \r(3)b)b＝2－eq \r(3)，
解得b2＝2，则a＝2b＝2eq \r(2).
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.]
8．(2016·江苏高考)如图8­5­4，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.
图8­5­4
eq \f(\r(6),3) [将y＝eq \f(b,2)代入椭圆的标准方程，得eq \f(x2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
所以x＝±eq \f(\r(3),2)a，故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2))).
又因为F(c,0)，所以eq \(BF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a，－\f(b,2))).
因为∠BFC＝90°，所以eq \(BF,\s\up8(→))·eq \(CF,\s\up8(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，即c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝eq \f(3,2)c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，所以e＝eq \f(\r(6),3)(负值舍去)．]
三、解答题
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，其中左焦点为F(－2,0)．
【导学号：31222315】
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,c＝2，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝2.))3分
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.5分
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m，))消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2eq \r(3)0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq \f(\r(5),10).
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
[解] (1)由题设条件知，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，2分
又kOM＝eq \f(\r(5),10)，从而eq \f(b,2a)＝eq \f(\r(5),10).
进而a＝eq \r(5)b，c＝eq \r(a2－b2)＝2b，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(5),5).5分
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，可得eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,6)，\f(5b,6))).8分
又eq \(AB,\s\up8(→))＝(－a，b)，
从而有eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝－eq \f(1,6)a2＋eq \f(5,6)b2＝eq \f(1,6)(5b2－a2).10分
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝0，故MN⊥AB.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若eq \f(1,3)