2021年高考理科数学一轮复习：专题9.5 椭　圆 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24216" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc24216 1
\l "_Tc25382" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc25382 4
\l "_Tc29088" 题型一 椭圆的定义及应用 PAGEREF _Tc29088 4
\l "_Tc14516" 类型一 利用定义求轨迹方程 PAGEREF _Tc14516 4
\l "_Tc30501" 类型二 利用定义解决“焦点三角形”问题 PAGEREF _Tc30501 5
\l "_Tc32571" 类型三 利用定义求最值 PAGEREF _Tc32571 5
\l "_Tc24940" 题型二 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc24940 6
\l "_Tc15725" 题型三 椭圆的几何性质 PAGEREF _Tc15725 9
\l "_Tc3035" 类型一 椭圆的长轴、短轴、焦距 PAGEREF _Tc3035 9
\l "_Tc31405" 类型二 求椭圆的离心率 PAGEREF _Tc31405 10
\l "_Tc23445" 类型三 根据椭圆的性质求参数 PAGEREF _Tc23445 11
\l "_Tc15796" 题型四 直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc15796 12
\l "_Tc8713" 题型五 弦长问题 PAGEREF _Tc8713 13
\l "_Tc18785" 题型六 中点弦问题 PAGEREF _Tc18785 15
\l "_Tc14590" 题型七 椭圆与向量的综合问题 PAGEREF _Tc14590 17
\l "_Tc20777" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc20777 19
一、考点全归纳
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若ab>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)1.
【常用结论】
(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
①eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
②eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
(4)AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
二、题型全归纳
题型一 椭圆的定义及应用
【解题要点】(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
类型一 利用定义求轨迹方程
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
类型二 利用定义解决“焦点三角形”问题
【例2】已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \(PF,\s\up6(→))1⊥eq \(PF,\s\up6(→))2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
类型三 利用定义求最值
【例3】设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
题型二 椭圆的标准方程
【规律与方法】求椭圆标准方程的2种常用方法
【例1】． (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
【例2】过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
题型三 椭圆的几何性质
【解题要点】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
类型一 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例1】 (2020·河南洛阳一模)已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )
A．5 B．6
C．9 D．10
类型二 求椭圆的离心率
【例2】过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
【例3】 已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
类型三 根据椭圆的性质求参数
【例4】(1)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
题型四 直线与椭圆的位置关系
【规律方法】研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆有交点．
【例1】．(2020·揭阳模拟)若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．00)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且eq \f(|CD|,|AB|)＝eq \f(8\r(3),7)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝eq \f(48,7)，求直线AB的方程．
题型六 中点弦问题
【规律方法】弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
【例1】 已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))且被P点平分的弦所在直线的方程.
【例2】(1)已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是F(0，5eq \r(2))，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq \f(2,7)的椭圆的标准方程为________．
题型七 椭圆与向量的综合问题
【题型要点】解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
【例1】(2020·湖南永州二模)已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(00)的离心率为eq \f(1,3)，则eq \f(a,b)＝( )
A.eq \f(9,8) B．eq \f(3\r(2),2)
C.eq \f(4,3) D．eq \f(3\r(2),4)
2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1或eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
3．已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)－1 B．eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)＋1
5．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,9) D．－eq \f(9,4)
7．已知直线y＝－x＋1与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(4\r(2),3)
C.eq \r(2) D．2
8．(2020·石家庄质检)倾斜角为eq \f(π,4)的直线经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),3)
9．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
10．(2020·福建福州一模)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，eq \r(2))
C．(0，eq \r(3)) D．(0，2eq \r(3))
11.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(5),5)
12．(2020·广东深圳一模)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为( )
A．2－eq \r(3) B．eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1 D．2＋eq \r(3)
二、填空题
1．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
2．(2020·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2eq \r(2)－2，离心率为eq \f(\r(2),2)，则椭圆E的方程为________．
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
4.(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．
5.已知斜率为2的直线经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
6．直线m与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．
7.从椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
8.(2020·安徽蚌埠一模)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))，则∠F1AF2的平分线所在直线的斜率为________．
三 解答题
1.(2020·柳州摸底)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且eq \f(\r(2),2)b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．
3.(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cs∠F1PF2＝eq \f(3,5).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，
点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．
4.(2020·郑州模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，原点到过点A(0，－b)和B(a，0)的直线的距离为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)