人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 设为正数，且，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”，大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为参考数据：(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知实数，满足等式，给出下列五个关系式：；；；；其中，不可能成立的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 我国于年月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为个已知个超导量子比特共有“，”种叠加态，个超导量子比特共有“，，，”种叠加态，个超导量子比特共有“，，，，，，，”种叠加态，只要增加个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长设个超导量子比特共有种叠加态，则是一个________位的数参考数据：(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设函数若，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照的函数关系降解，其中的单位为小时，的单位为该农药的喷洒浓度为，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要小时参考数据(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型已知甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的有(    )

A. 甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C. 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

10. 下列命题中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知，则满足下列关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 以下四种说法中，错误的是(    )

A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 不一定存在，当时，总有

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设，且，求          ．
14. 已知函数关于对称，则的解集为_________．
15. 化简求值：           ．
16. 若函数与互为反函数，则的单调递增区间是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知函数为奇函数。

求的值并判断的单调性；

若，求的取值范围。

18. 已知函数，且．
    若函数的图象过点，求实数的值；
    求关于的不等式的解集．
19. 已知定义在上的函数，其中，，且．

试判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

解关于的不等式：．

20. 求值或化简：

；

．

21. 已知函数，若；
    求的值；     
    求的值；   
    解不等式．
22. 某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到年前个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：

产量万只和月份之间可能存在以下四种函数关系：；；；各式中均有，

Ⅰ请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；

Ⅱ请你从表格数据中选择月份和月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下月份的产量，并说明哪个函数模型更好．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数幂的运算，解答本题的关键是熟练掌握指数幂的运算性质．
首先将换成可得，化简得，再利用指数的运算性质求解即可．

【解答】

解：，且，，
，又，
，
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算，指数运算，数学模型的应用，属于中档题．
由题意可得，两边取对数结合题干条件可求出答案．

【解答】

解：依题意，
，，
，
两边取对数得：，
，
则，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数解析式，解不等式，属于函数性质的综合应用，是中档题．
先根据已知奇函数的性质可求和时函数的解析式，然后结合指数函数的单调性即可求解．

【解答】

解：因为函数为上的奇函数，当时，，

当时，，则，

所以时，，，

则由可得，或，或，

解可得或或综上可得，不等式的解集为

故选C．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数函数单调性，以及指数函数的图象，属于基础题．
先画出函数与的图象，再讨论时，的情况即可． 
【解答】
解：画出函数与的图象，

当时，的图象在的图象下方，
当时，的图象在的图象上方，
当，时，若，则，
当时，成立，
当，时，若，则，
故成立，不可能成立，
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以实际问题为背景，考查推理能力，指数及对数的运算．
推理可得，将化为以为底的对数，利用对数及指数的运算性质可得
，再利用指数函数的性质可得，即可判断的位数．

【解答】

解：根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，
所以当有个超导量子比特共有种叠加态，
因为，
又，
所以是一个位的数．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数单调性的应用，涉及对数函数、指数函数的单调性，属于中档题．
由题意知，构造函数，利用单调性得，即可得解．
【解答】解：，
即，
构造函数，易知是上的增函数，
所以，
所以．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分段函数性质，对数函数及其性质运用，对数不等式求解，属于中档题，根据题意分，，建立对数不等式，结合对数函数性质，求出的取值范围即可．
【解答】
解：函数
当时，由，即，即，
解得，
当时，，即，即，
，解得，
综上知的取值范围为，
故选C．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数在实际生产生活中的应用，考查指数函数性质以及对数运算，主要考查了学生理解题意和分析题意的能力，属于中档题．
利用题中给出的信息，设至少需要小时该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案．

【解答】

解：依题意，当时，，
所以，即，
设至少需要小时该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，
则，两边取对数，
，
，
，
，，
又，
，
所以至少需要小时．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了指数的运算、幂函数的性质、指数函数的运算，也考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得．
【解答】
解：设甲与乙的工人工作效率， ，工作年限，，劳累程度，，劳动动机，，
对于，，，，，
，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；
对于，，，，
，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故B正确．
对于，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故C正确；
对于，，，，，，
，，
则，
，即甲比乙工作效率高，故D正确；
故选BCD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查对数函数的性质及其不等式和指数函数的性质及其不等式，属于中档题．
根据对数函数和指数函数的性质，结合作商法求解即可．
【解答】
解：由指数函数的性质可知，当时，
，恒成立，A正确；
由对数函数的性质可知，当时，，，
，
恒成立，B正确；
对于，当时，，，
当时，，，则，C正确；
对于，当时，，由对数函数与指数函数的性质可知，
当时，恒成立，D错误．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数运算，以及基本不等式的应用．
由，则，，所以，即可得．

【解答】

解：因为，则，，
所以，故A正确；
所以，则，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选ABC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质应用问题，是一般题．
通过举例说明幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质，判断选项中的命题是否正确即可．

【解答】

解：对于，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误；
对于，当时，由幂函数和对数函数的图象知，存在时，，所以B错误；
对于，当时，由指数函数和对数函数的图象知，存在时，，所以C错误；
对于，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的图象知，
不一定存在，当时，总有，所以D正确．
故选ABC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂的运算性质．
直接利用指数幂的性质求出的值，然后进行运算即可，注意验证．

【解答】

解：，则，
所以，即，
即，解得，
由于当时，，，不符合题意舍，
故
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：函数关于对称，
，，
则由，
即，
可得
求得，
故答案为：．
先求出的值，可得函数的解析式，再由，使用指数不等式得到绝对值不等式，求出的范围．
本题主要考查指数不等式的性质，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂及对数运算，是基础题．
利用指数幂及对数运算法则直接求解即可．

【解答】

解：


．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查反函数，考查复合函数的单调性，确定内外层函数的单调性是关键．
先求出函数的解析式，确定内外函数的单调性，即可求得函数的单调递增区间．

【解答】

解：由题意知， 在上单调递增，
设 ，令 ，解得或，
由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，
则 的单调递增区间是．
故答案为：．

17.【答案】解：函数，定义域为，
因为为奇函数，则，于是，

因为函数在上是增函数，且函数在上是减函数，

所以函数在上是增函数；

由可知函数在上是增函数，且，
于是由，即可得，解得，

所以实数的取值范围为．

【解析】本题考查奇函数的定义，指数的运算，以及对数函数的单调性，属于中档题．
根据奇函数定义可知，，从而求出，进而可得函数的单调性；
由函数单调性可知，可得，解出该不等式即可．
 

18.【答案】解：据题意，得，   
或．
又，且， 
；
，
．
又，且，
讨论：
当时，，   
；  
当时，，   
．
综上，当时，关于的不等式的解集为；   
当时，关于的不等式的解集为． 

【解析】本题考查了指数函数的性质，指数不等式的解法，属于中档题．
代值求出函数的表达式，得出的值即可；
对进行分类讨论解不等式即可求出．
 

19.【答案】解：函数为奇函数．
证明：函数的定义域为，
，
即对任意恒成立．
所以为上的奇函数．
由，得，即．
因为，，且，所以且
由，得．
当，即时，解得
当，即时，解得
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为． 

【解析】本题考查函数的奇偶性和指数不等式的求解，属于中档题．
求出函数的定义域，由函数奇偶性的判断方法可得答案；
可化不等式为，对底数进行分类讨论结合对数的运算可得不等式的解集．
 

20.【答案】解：


．



． 

【解析】本题考查了对数和指数幂的运算法则．
根据对数的运算法则求解即可；
根据对数和指数的运算法则求解即可．
 

21.【答案】解：，
，即，解得．
由得函数，
则，
不等式，
即为
化简不等式得，
函数在上为增函数，且的定义域为，
，
即，解得，
所以不等式的解集为：． 

【解析】本题考查了对数运算和运用对数函数单调性解不等式，属于基础题．
将代入函数，根据对数的运算法则可求出的值； 
由可得函数的解析式，将代入解析式，化简可得结论； 
根据不等式结合函数单调性得从而求出解集．
 

22.【答案】解：Ⅰ
第一种：去掉，
原因如下：
两处值相差太大，故不合题意．
第二种：去掉，
原因如下：函数模型是减函数，所给数据表明函数是增函数，故不合题意．
Ⅱ
若选择第二种：去掉，
再从剩下的三种模型中选择和两个函数模型，
当选择时，即，
得，解得，得，则，
当选择时，即；
得，解得，得，则，
与比较，当选择时，该函数模型更好． 

【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
Ⅰ可以选择或，进行原因分析即可
Ⅱ若选择第二种：去掉，再从剩下的三种模型中选择和两个函数模型，分别求出两者的表达式，再计算与比较即可判断即可．