2021-2022学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列代数式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 中国自主研发的第一台纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一纳米等于米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 我市月的某一周每天的最高气温单位：统计如下：，，，，，，，则这组数据的中位数与众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 如图，▱的周长为，的周长比的周长多，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知数据、、、的方差是，则数据、、、的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，下列四个判断中，正确的个数有(    )
   四边形是平行四边形
   如果，那么四边形是矩形
   如果平分，那么四边形是菱形
   如果，且，那么四边形是正方形

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 规定表示不大于的最大整数，例如，，那么函数的图象为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，中，点在第一象限，且，，反比例函数图象经过点，反比例函数图象经过点，且点的纵坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 如果点和点关于轴对称，则的值是______．
13. 点在第二象限，则的取值范围是______．
14. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______．
15. 如图，在四边形中，，，若，，则______．

16. 甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时分钟，再继续向地前行，此时甲尚未到达地．当甲和乙分别到达地和地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离米与运动时间分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
    两地距离米；
    出发分钟，甲乙两人第一次相遇；
    乙的速度为每分钟米；
    甲在出发后第分钟时开始执行任务．
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在▱中，点、分别在、上，且．
    求证：．

19. 因现在学生人数逐年增加，我市某校欲招聘一名编外数学教师，现有甲、乙、丙三位老师通过专业知识、授课、答辩三项测试．他们各自的成绩单位：分如下表所示，按照招聘简章要求，对专业知识、授课、答辩三项赋权：：，请计算三名应聘者的综合成绩，从综合成绩看，应该聘用谁？

20. 如图，在▱中，，分别是，上的点，且，求证：四边形是菱形．

21. 求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
    要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程
22. 如图，矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转后得到矩形，函数的图象刚好经过的中点，交于点．
    求该反比例函数关系式；
    求的面积．

23. 甲、乙两人分别加工、两种型号的零件，已知甲加工型零件个所用时间和乙加工型零件个所用时间相同，两人每天共可加工个零件．
    求甲、乙每天各加工多少个零件；
    根据市场预测估计，加工一件型零件可获利元，加工一件型零件的利润比加工一件型零件的利润多元．求每天甲、乙加工的零件所获得的总利润元与的函数关系式，并求的最大值、最小值．
24. 已知，矩形对角线，相交于，点为边上的动点，连结．
    如图，若，，求证：；
    如图，若点为的中点，当线段最小时，连结交于点．
    求证：．
    连结，若，，求矩形的面积用含的式子表示．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，有两条平行线：和：，直线上有一点，且与轴交于点，过点作轴于点，直线交轴于点在线段上，交轴于点，交于点．
    求的值；
    平移直线：，当点恰好经过的中点时，过点作交于点，求证：四边形为矩形；
    如果将直线：向下平移个单位长度后，交轴于点，交于点，过作交于点，当四边形为正方形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整式，故此选项不符合题意；
B、是分式，故此选项符合题意；
C、是整式，故此选项不符合题意；
D、是整式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据分式的定义解答即可．分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得．
故选：．
要使分式的值为，必须分式分子的值为并且分母的值不为．
本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查中位数、众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过一、二、四象限．
先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
 

6.【答案】 

【解析】解：由平行四边形的性质知：，
的周长，
的周长，
又的周长比的周长多，
，即，
又，即，
，
故选：．
由“的周长比的周长多”及平行四边形性质知，比长，即可求得的长．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：数据、、、的方差为，
数据、、、的方差是，
故选：．
将原数据分别加上同一个数时，数据的波动程度没有改变，据此求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形．
故正确．
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
故正确．
，
，
平分，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故正确．
如果，且不能判定四边形是正方形，
故错误．
故选：．
根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定及正方形的判定可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，正方形的判定定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方法一：还可理解为取小，
、，所以；
、当为整数时，，此时；
、的图象为的图象向左或向右平移个单位根据的，左加右减；
基于以上结论，可得：
当时，
当时，，
时，，
当时，；
时，，即在两个整数之间时，为一次函数；
当时，，
符合条件的为、；
当时，
当时，，
时，，
时，，
在、中符合条件的为，
故选：．
方法二：
当，，，
当时，，，
当时，，，
以此类推，
故选：．
还可理解为取小，分当、，代入相应的点依次求解即可．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，解题关键是应把所有可能出现的情况考虑清楚，本题属于中等题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，轴于，则直线与直线交于点，
反比例函数图象经过点，点的纵坐标为，
点，
，，
，
，
，
，
在和中

≌，
，，
，
，
反比例函数图象经过点，
，
解得，
反比例函数图象在第一象限，
，
，
故选：．
作轴于，轴于，则直线与直线交于点，由反比例函数图象经过点，点的纵坐标为，得到点，则，，利用证得≌，即可证得，，得到点的坐标，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，掌握是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点和点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
根据关于轴对称的点的坐标特征，可求出，，然后进行计算即可解答．
本题考查了关于轴，轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴，轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，
解得：，
故答案为：．
根据点所在的象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能根据点的坐标得出不等式组是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得原数据为，，，，，
所以．
故答案为：．
利用方差公式得到原数据为，，，，，然后计算这组数据的平均数即可．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用来表示，计算公式是：
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
首先过点作交于点，可得四边形是平行四边形，继而可证得是等腰三角形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：甲的速度为米分，设乙的速度为米分，两地距离为米，
时，，此时两人相距米，列方程得：
，
当时，甲走的路程为：米，
图象中，时，，
即此时甲乙两人相距米，甲已经到达地并返回，乙还在前往地，
列方程得：，
联立方程组解得，
两地距离米，乙的速度为每分钟米，故说法正确，说法错误；
分，
故出发分钟，甲乙两人第一次相遇，故说法错误；
设甲出发分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为，列方程得：
，
解得：，
即甲在出发后第分钟时开始执行任务，故说法正确；

所以正确的是．
故答案为：．
函数图象可看作是线段、、、、构成：对应两人从出发到第一次相遇，其中分钟时，两人相距米；对应乙在原地执行任务，甲继续前进；对应甲继续向地走，乙继续向地走；对应甲到达地返回走，乙继续向地走，其中时，两人相距米；对应两人都返回走到第二次相遇．设乙的速度为米分，两地距离为米，根据两个确定的和值找等量关系列方程．
本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应和表示的数量关系．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形性质得出，，求出，，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．
 

19.【答案】解：甲的平均成绩是：分，
乙的平均成绩是：分，
丙的平均成绩是：分，
乙的平均成绩最高，
应该录取乙． 

【解析】根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得出答案．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】已知：如图，四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：在和中，
，
≌，
，
，同法可证，
四边形是平行四边形． 

【解析】写出已知、求证．只要证明，即可；
本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且，
点的坐标为，
，
将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转后得到矩形，
，，
，
函数的图象刚好经过的中点，
，
，
解得，
反比例函数的解析式为；
，
，，
把代入得，，
，
，
． 

【解析】根据题意得出点的坐标为，进一步求得，代入曲线方程中即可得出的值，便可得出反比例函数的解析式；
根据的值可得出点、点的坐标，根据反比例函数系数的几何意义得出，故可得出的面积．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，求得、的坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲每天加工个型零件，则乙每天加工个型零件，根据题意，
易得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
个．
答：甲每天加工个型零件，乙每天加工个型零件；
，
，
随的增大而增大，
又由已知得：，
当时，的最大值，
当时，的最小值． 

【解析】设甲每天加工个型零件，则乙每天加工个型零件，根据题意，易得，解方程可得的值，进而可得答案；
根据题意，可得关系式，化简可得，根据一次函数的性质分析可得答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，

当线段最小时，，
，
，
，，
过作，连接，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
解：如图，

连接，，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
矩形是正方形，
矩形的面积． 

【解析】根据矩形的性质得到，，，，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，根据垂直的定义即可得到结论；
证明：如图，根据等腰三角形的性质得到，求得，，过作，连接，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
如图，连接，，过作于，根据平行线等分线段定理得到，求得，求得，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，于是得到结论．
本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题目知道，点在直线上，将坐标代入直线表达式得：，解得；
证明：，轴于点，
，
点是的中点，
，
由题目知道直线与直线平行，
设直线：，
：与轴交于点，
，
直线的斜率，
，
又因为直线，，
四边形为矩形；
解：由题目当四边形为正方形时，正方形的边且，
，
，
，，
，
≌，，，
且，
，，点的坐标为，
直线经过平移后的表达式为：
，将点的坐标为代入，得． 

【解析】把点的坐标代入：即可解答；
根据题意易求点、坐标，再计算直线的斜率，所以又因为直线，，从而得解；
根据正方形性质可得且，再证明≌，，，求出点的坐标为，代入直线经过平移后的表达式，即可得解．
本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法、待定系数法求一次函数解析式、平面直角坐标系中，平行线和垂线的比例系数的关系等知识点，解题关键是熟练掌握一次函数有关知识．