2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式2x−5有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>5 B. x≠5 C. x=5 D. x<5
2. 在如图所示的平面直角坐标系中，点(3,−2)的位置可能是(    )

A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
3. 在▱ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠C的度数是(    )
A. 140° B. 120° C. 100° D. 40°
4. 清⋅袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.若苔花的花粉直径约为0.0000085米，数据“0.0000085”用科学记数法表示为(    )
A. 0.85×10−5 B. 8.5×10−6 C. 8.5×10−7 D. 85×10−8
5. 某班体育委员记录了九名同学参加定点投篮测试，每人投篮五次，投中的次数统计如下
投中次数
1
2
3
4
5
人数
1
2
1
3
2
则关于这九名同学投中次数组成的数据的中位数，众数分别为(    )
A. 3，4 B. 3.5 C. 4，4 D. 4，5
6. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    )


A. AB=CD B. BC//AD C. ∠A=∠C D. BC=AD
7. 如果反比例函数y=k−2x的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是(    )
A. k<2 B. k<−2 C. k>2 D. k>−2
8. 已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC=8，BD=6，则菱形的面积为(    )
A. 20 B. 24 C. 40 D. 48
9. 某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析：在对生活垃圾进行分类时，机器人分类120桶所用的时间与人工分类90桶所用的时间相同，已知机器人每小时比人工多分类20桶垃圾．若设机器人每小时分类x桶垃圾，则可列方程为(    )
A. 120x−20=90x B. 120x+20=90x C. 120x=90x−20 D. 120x=90x+20
10. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=2，点E是BC的中点，线段PQ在直线AB上左右滑动，若PQ=3，连接PD，QE，则PD+QE的最小值为(    )

A. 4 B. 13 C. 2+ 5 D. 2+ 5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：aa−2−2a−2= ______ ．
12. 将正比例函数y=−2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是          ．
13. 如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是______．


14. 一组数据的方差计算公s2=14[(3−x−)2+(6−x−)2+(6−x−)2+(9−x−)2]，则这组数据的方差是______ ．
15. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E在对角线AC上，连接BE，过点E作FE⊥BE，交AD于点F，若AF=2，则四边形ABEF的面积为______ ．


16. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴的正半轴上，点A是第一象限内一点，反比例函数y=kx的图象经过点A和BC边的中点D，若△ABD的面积为3，则k的值为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
16−(−2023)0+(−12)−1．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值；
(x−1x)÷x2−2x+1x，其中x=2．
19. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，BD平分∠ABC．
求证：四边形ABCD是菱形．

20. (本小题8.0分)
如图，已知反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)与正比例函数y=2x的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,m)．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为5，求点C的坐标．

21. (本小题8.0分)
某校初二年段开展数学竞赛的预选赛共有20道单选题，满分为100分，参加数学竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图)，已知竞赛成绩统计表中a，b满足a=2b，请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩(分)
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：(70+80+90+100)+4=85(分)根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果：
(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，连接AC．
(1)尺规作图：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E.(保留作图痕迹，不写作法
(2)若AB=3，且四边形ACED的周长比矩形ABCD的周长多4，求四边形ACED的面积．

23. (本小题10.0分)
为了改进教学方式，促进学生学习方式的转变，我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价比B型设备价格每台高20%，用60000元购买A型设备的数量比用48000元购买B型设备的数量多1台．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元：
(2)该校计划购买两种设备共100台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的12，设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购别为费用．
24. (本小题13.0分)
问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为AB=a，AD=b(a 动手实践：
如图1，小华将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点F处，折痕为BE，连接EF，然后将纸片展平，得到正方形AEFB，矩形CDEF．
(1)折痕BE的长为______ ；(用含a的式子表示)
(2)如图2，若P为线段BF上的任意一点，Q为CD的中点，小芳继续将矩形纸片ABCD沿经过P，Q两点的直线折叠，使点C落在折痕EF上的点G，折痕PQ与折痕EF交于点H，小芳同学不断改变点P的位置，发现四边形DGHQ是某种特殊四边形．
①请你判断四边形DGHQ的形状，并给予证明：
②若∠PPC=30°，求四边形DGHQ的周长.(用含a的式子表示)
深度探究：
(3)小强在图1中连接BD和CE交于点J，BD与折痕EF交于点K，连接FJ，如图3，当BD⊥CE时，BJ−EJFJ是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．


25. (本小题13.0分)
如图，直线l：y=mx+4m(m为常数，m≠0)与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB，点P，Q分别为x轴和y轴上的动点．
(1)求m的值；
(2)若点P的坐标为(−2,0)，且∠BPQ=45°，求点Q的坐标；
(3)若点P的坐标为(a,0)，将BP绕点P顺时针旋转90°得到线段CP，当四边形APCQ是平行四边形时，用含a的代数式表示四边形APCQ的面积S．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：∵分式2x−5有意义，
∴x−5≠0，
解得：x≠5．
故选：B．
直接利用分式的定义分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．

2.【答案】D 
【解析】解：点(3,−2)在第四象限，故点(3,−2)的位置可能是点D．
故选：D．
根据各个象限上的点的坐标特点解答即可．
本题考查了点的坐标，掌握各个象限上的点的坐标特点是解答本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=80°，
∴∠A=∠C=40°，
故选：D．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是明确平行四边形的对角相等．

4.【答案】B 
【解析】解：0.0000085=8.5×10−6．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查的是科学记数法，熟知用科学记数法表示较小的数是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，3，4，4，4，5，5，数据4出现了三次最多为众数；
4处在第5位，所以4为中位数．
所以本题这组数据的中位数是4，众数是4．
故选：C．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

6.【答案】D 
【解析】解：当AB//CD，AB=CD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；
当AB//CD，BC//AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当AB//CD，∠A=∠C时，可得AD//BC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当AB//CD，BC=AD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
依据平行四边形的判定方法，即可得到不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．
此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．

7.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k−2<0，即可得出结果．
【解答】
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k−2<0，
∴k<2，
故选：A．  
8.【答案】B 
【解析】解：菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24．
故选：B．
菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度)，由此即可计算．
本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形面积的计算公式．

9.【答案】C 
【解析】解：设机器人每小时分类x桶垃圾，则人工每小时分类(x−20)桶垃圾，
由题意，得120x=90x−20．
故选：C．
设机器人每小时分类x桶垃圾，根据“机器人分类120桶所用的时间与人工分类90桶所用的时间相同”，列出关于x的分式方程．
考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：在CD上取点D′，使DD′=PQ=3，取点E关于AB的对称点E′，连接D′E′交AB于点Q，

∵点E是BC的中点，
∴BE′=BE=12BC=1，则CE′=CB+BE′=3，
又∵PQ=3，
∴在AB上找到点P，连接PD，此时PD+QE取得最小值，
∵DD′=PQ=3，DD′//PQ，
∴四边形DD′QP是平行四边形，
∴PD=QD′，
∵点E与点E′关于AB的对称，
QE=QE′，
∴PD+QE=QD′+QE′=D′E′，即PD+QE的最小值为D′E′的长，
∵CD′=CD−DD′=2，
∴D′E′= CD′2+CE′2= 22+32= 13，即PD+QE的最小值为小 13，
故选：B．
在CD上取点D，使DD′=PQ=3，取点E关于AB的对称点E′，连接D′E交AB于点Q，在AB上找到点P，连接PD，此时PD+QE取得最小值，证明四边形DD′QP是平行四边形，得到PD+QE的最小值为D′E′的长，利用勾股定理即可求解．
此题考查了利用轴对称求最短路径问题、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，确定PD+QE最小时P、Q位置是解题关键．

11.【答案】1 
【解析】解：原式=a−2a−2=1．
故答案为：1
原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12.【答案】y=−2x+3 
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
根据一次函数图象平移的性质即可得出结论．
【解答】
解：正比例函数y=−2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是：y=−2x+3．
故答案为：y=−2x+3．  
13.【答案】x>1 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象及一次函数与一元一次不等式，难度一般．
利用函数图象，写出一次函数y1=x+b的图象在一次函数y2=kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：根据图象得，当x>1时，x+b>kx+4，
即关于x的不等式x+b>kx+4的解集为x>1．
故答案为：x>1．  
14.【答案】4.5 
【解析】解：由题意知，这组数据为3、6、6、9，
∴这组数据的平均数x−=14×(3+6+6+9)=6，
∴s2=14[(3−6)2+(6−6)2+(6−6)2+(9−6)2]=4.5．
故答案为：4.5．
根据方差的计算公式得出这组数据为3、6、6、9，求出平均数，再代入方差公式计算可得答案．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．求出这组数据的平均数是解题的关键．

15.【答案】16 
【解析】解：分别过点E作EG⊥AB于G，EH⊥AD于H，则

∠EHA=∠EGA=∠BAD=90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAG=45°，
∴∠AEG=45°，
∴∠AEG=∠EAG，
∴AG=GE，
∴四边形AGEH是正方形，
∴HE=EG，
∵∠FEB=∠HEG=90°，
∴∠HEF+∠FEG=∠FEG+∠GEB=90°，
∴∠HEF=∠GEB，
在△EFH和△EBG中，
∠EHF=∠ECBEH=EG∠FEH=∠GEB，
∴△EFH≌△EBG(ASA)，
∴FH=BG，
设FH=BG=x，
∴AH=AG，
∴AF+FH=AB−BG，
∴2+x=6−x，
∴x=2，
∴AH=AF+FH=4，
四边形ABEF的面积为16．
故答案为：16．
先证明四边形AGEH是正方形，由ASA证明AEFH≌△EBG可得，S四边形ABEF=S正方形AGEH’由AH=AG可求得HF的长，从而可得正方形AGEH的边长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证明△EFH≌△EBG是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．

16.【答案】8 
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A和BC边的中点D，
∴S△AOM=S△DON=12k，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，
∵D是BC的中点，
∴S△AOD=2S△OCD=2S△ABD=2×3=6，
设D(kn,n)，则A(k2n,2n)，
∴S△AOD=S△AOD+S梯形AMND−S△DON=S梯形AMND=12(n+2n)(kn−k2n)=6．
解得k=8，
故答案为：8．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOM=S△DON=12k，结合平行四边形的性质可求S△AOD=6，设D(kn,n)，则A(k2n,2n)，利用S△AOD=S梯形AMND可列关于k的方程，计算求解k值．
本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的特征及平行四边形的性质，求解△AOD的面积是解题的关键．

17.【答案】解：原式=4−1−2
=1． 
【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：原式=x2−1x⋅x(x−1)2
=(x−1)(x+1)x⋅x(x−1)2
=x+1x−1，
当x=2时，
原式=2+12−1=3． 
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

19.【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CBD=∠ADB．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∴▱ABCD是菱形． 
【解析】由角平分线的定义及平行线的性质得到∠ABD=∠ADB，据此得到AB=AD，根据菱形的判定即可证得结论．
本题主要考查菱形的判定，根据角平分线的定义及平行线的性质证得∠ABD=∠ADB是解题的关键．

20.【答案】解：(1)将(1,m)代入y=2x得m=2，
∴点A坐标为(1,2)．
将(1,2)代入y=kx得k=2，
∴反比例函数解析式为y=2x．
(2)设点C坐标为(m,0)，连接AC，BC，

∵点A坐标为(1,2)，
∴点B坐标为(−1,−2)．
则S△ABC=S△AOC+S△BOC=12OC⋅yA+12OC⋅(−yB)=12OC(yA−yB).
∴12×(2+2)|m|=2|m|=5．
∴m=−52或m=52，
∴点C坐标为(−52,0)或(52,0)． 
【解析】(1)依据题意，将A代入y=2x，求出m，再通过待定系数法可以得解；
(2)设点C坐标为(m,0)，连接AC，BC，由S△ABC=S△AOC+S△BOC求解．
本题主要考查反比例函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求解函数解析式．

21.【答案】8  4 
【解析】解：(1)∵每组学生均为20名，
∴a+b=20−3−5=12(名)，
∵2b=a，
∴a=8，b=4，
故答案为：8；4；
(2)小明的计算不正确，
正确的计算为：70×3+80×8+90×4+100×520=85.5(分)；
(3)竞赛成绩较好的是甲组，
理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：
100×360−90−90−144360+90×90360+80×90360+70×144360=10+22.5+20+28=80.5(分)，
80.5<85.5，
∴竞赛成绩较好的是甲组．
(1)根据每组学生均为20名求出a，b的和，由2b=a即可求解；
(2)小明的计算不正确，根据加权平均数的计算方法可以解答本题；
(3)计算乙组20名学生竞赛成绩的平均分，比较即可得出答案．
本题考查了统计表和扇形统计图的运用，掌握扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是关键．

22.【答案】解：(1)如图所示，DE即为所求；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∠B=90°，
∵DE//AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DA=CE，AC=DE，
∵四边形ACED的周长比矩形ABCD的周长多4，
∴AC+CE+ED+DA−(AB+BC+CD+DA)=4，
∴AC−AB=2，
∵AB=3，
∴AC=5，
∴BC= AC2−AB2=4，
∴四边形ACED的面积=CE⋅AB=AD⋅AB=3×4=12． 
【解析】(1)根据题意作出图形即可；
(2)根据矩形的性质得到AD=BC，AB=CD，AD//BC，∠B=90°，根据平行四边形的性质得到DA=CE，AC=DE，根据题意列方程得到AC−AB=2，根据勾股定理得到BC= AC2−AB2=4，根据矩形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为(1+20%)x元，
根据题意，得：60000(1+20%)x−48000x=1，
解得x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解且符合题意，
(1+20%)x=1.2×2000=2400(元)，
答：A型设备的单价为2400元，B型设备的单价为2000元；
(2)根据题意，得a≥12(100−a)，
解得a≥1003，
由题意得：w=2400a+2000(100−a)=400a+200000，
∵400>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=1003时，w最小，w最小=400×1003+200000≈213333(元)．
答：w与a的函数关系式为w=400a+200000，最少购买费用为213333元． 
【解析】(1)设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为(1+20%)x元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
(2)根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握题意列出关系式是解题的关键．

24.【答案】 2a 
【解析】解：(1)∵AB=a，四边形ABFE正形，
∴AB=BF=FE=AE=a，
在Rt△BFE中，BE= AB2+AE2= 2a2= 2a.
故答案为： 2a；
(2)①四边形DGHQ是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得：∠CQP=∠GQP，CQ=GQ，
∵EF//CD，
∴∠CQP=∠GHQ，DQ//GH，
∴GH=GQ，
∵DQ=CQ，
∴DQ=GH，
∵DQ//GH，
∴四边形DGHQ是平行四边形；
②∵∠QPC=30°，
∴∠CQP=90°−30°=60°，∠PHF=90°−30°=60°，
∵∠GHQ=∠PHF=60°，
∴△GHQ为等边三角形，
∴GH=HQ，
∵四边形DGHQ是平行四边形，
∴四边形DGHQ是菱形；
∵DQ=12DC=12a，
∴四边形DGHQ的周长为4DQ=2a．
(3)当BD⊥CE时，BJ−EJFJ不是定值，理由如下：
∵AB=a=CD，AD=b=BC，
∴BD= BC2+CD2= a2+b2，BF=AE=a，ED=b−a，
∴EC= CD2+ED2= a2+(b−a)2，
∵S△BCD=12BD×JC=12BC⋅CD，
∴JC=BC⋅CDBD=ab a2+b2，
∴BJ= BC2−CJ2=b2 a2+b2，
∴DJ=BD−BJ=a2 a2+b2，
∴EJ= DE2−DJ2= a2+b2−2ab−a4 a2+b2，
如图：过F作FM⊥BD于M，则FM//JC，

∴∠MFB=∠BJC，∠FBM+∠BCJ=90°，
∵∠DCE+∠BCJ=90°，
∴∠DCE=∠CBJ，
∵∠BMF=∠CJD=90°，BF=CD，
∴△BNF≌△CJD(AAS)，
∴MF=JD=b2 a2+b2，BM=CJ=ab a2+b2，
∴MJ=BJ−BM=b2−ab a2+b2，
∴FJ= MF2+MJ2= (b2−ab)2+a4 a2+b2，
∴BJ−EJFJ=b2 a2+b2− a2+b2−2ab−a4 a2+b2 (b2−ab)2+a4 a2+b2=b2− (a−b)2 (b2−ab)2+a4，
∵b2− (a−b)2 (b2−ab)2+a4不是定值，
∴当BD⊥CE时，BJ−EJFJ不是定值．
(1)根据正方形的性质可得AB=BF=FE=AE=a，然后运用勾股定理即可解答；
(2)①根据折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定可得DQ=GH、DQ//GH，即可说明四边形DGHQ是平行四边形；②先说明四边形DGHQ是姜形，DQ=12DC=12a，然后根据菱形的周长公式即可解答；
(3)先根据勾股定理可得BD= BC2+CD2= a2+b2，再运用等面积法可得JC=ab a2+b2，然后根据勾股定理求得BJ=b2 a2+b2，EJ= a2+b2−2ab−a4 a2+b2，FJ= (b2−ab)2+a4 a2+b2，最后代入计算看是否为定值．
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．

25.【答案】解：(1)由y=mx+4m(m为常数，m≠0)与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
得当x=0时，y=4m；当y=0时，x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,4m)，
∵OA=OB，
∴4=4m，解得m=1，
即m的值为1．
(2)如图一，作BC⊥BP，交PQ延长线于点C；作BD⊥y轴，垂足为点B；作CD⊥BD于点D，
∵∠BPQ=45°，BC⊥BP，
∴△PBC是等腰直角三角形，PB=CB，
∵∠PBC=∠OBD=90°，
即∠PBQ+∠QBC=∠QBC+∠CBD，
∴∠PBQ=∠CBD，
又∵∠POB=∠CDB=90°，PB=CB，
∴△PBO≌△CBD(AAS)，
∴PO=CD=2，OB=DB=4，
∴C(4,2)，
设yPC=kx+b，将C(4,2)，P(−2,0)代入得，
4k+b=2−2k+b=0，解得k=13b=23，
∴yPC=13x+23，
将x=0代入得y=23，
∴Q(0,23).

(3)①如图二，当点P在x轴负半轴时，点Q在y轴负半轴，
作CH⊥x轴于点H，PB=PC，
∵∠CHP=∠BPC=90°，
∴∠PCH+∠CPH=∠CPH+∠BPO，
∴∠BPO=∠PCH，
又∵∠POB=∠CHP，PB=PC，
∴△POB≌△CHP(AAS)，
∴PO=CH=−a，
又∵AP=‖a−(−4)‖=‖a+4‖，
∴S▱APCQ=AP×CH=‖a+4‖×(−a)，
②如图三，当点P在x轴正半轴时，点Q在y轴正半轴，
作CH⊥x轴于点H，PB=PC，
∵∠BPC=∠CHP=90°，
∴∠PCH+∠CPH=∠CPH+∠BPO，
∴∠BPO=∠PCH，
又∵∠POB=∠CHP，PB=PC，
∴△POB≌△CHP(AAS)，
∴PO=CH=a，
又∵AP=4+a，
∴S▱APCQ=AP×CH=(4+a)×a，
综上，四边形APCQ的面积S=‖4+a‖×‖a‖．
 
【解析】(1)应用A、B两点坐标及OA=OB，即可求解．
(2)作BC⊥BP，交PQ延长线于点C；作BD⊥y轴，垂足为点B；作CD⊥BD于点D，先利用45°角构建等腰直角三角形，再利用三角形全等的性质得到对应线段的长，然后用待定系数法求直线PC的关系式，进而求点Q的坐标．
(3)需分两种情况画出图形分类讨论，①当点P在x轴负半轴时，点Q在y轴负半轴；②当点P在x轴正半轴时，点Q在y轴正半轴，利用直角和相等线段构造全等三角形，从而得到四边形APCQ的高，其面积即可得解．
本题考查了一次函数与坐标轴交点的坐标特征，用待定系数法求一次函数关系式，三角形全等中的一线三等角问题，以及平行四边形面积，准确理解题意，分类讨论作出图形是解题的关键．