2021-2022学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 使分式有意义的的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各点中，在第四象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 奥密克戎是新型冠状病毒的一种变异株，它给人类带来了巨大的灾难，该冠状病毒的直径约为米，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，课外体育活动情况占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩百分制依次为、、，则小明这学期的体育成绩为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在▱中，，，若的平分线交于点，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图所示的菱形，并测得，，接着又将该学具活动成如图所示的正方形．从图到图，关于点、之间的距离的说法正确的是(    )

A. 保持不变 B. 增加
C. 减少  D. 增加 

8. 下列关于某个四边形的三个结论：它对角线互相平分；它是一个菱形；它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是(    )

A. 由推出，由推出 B. 由推出，由推出
C. 由推出，由推出 D. 由推出，由推出

9. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 函数的图象与直线在第一象限的一个交点为，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. ______．
12. 甲、乙两人都参加了某项目的五次测试，并将有关测试成绩制作如图所示的统计图，若甲、乙两人的成绩的方差分别用、表示，则的大小关系为 ______填入“”、“”或“”

13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为______．

14. 已知反比例函数的图象上有三个点、、若，则、、的大小关系为______．
15. 已知，则分式的值是______．
16. 如图，正方形的边长为，对角线与交于点，平分交于点，过点作，交于点，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解方程：．
18. 先化简，再求值：
    ，其中．
19. 如图，在矩形中，点、在边上，若，求证：．

20. 如图，已知点是的边上的一点．
    以为一边，作菱形，且点在的内部，点在的边上；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，对角线与相交于点，若，，求点到直线的距离．

21. 自由式滑雪大跳台是冬奥会的比赛项目之一，其计分规则如下：
    每次滑雪的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数；
    每次滑雪都有名裁判进行打分，在个得分中去掉个最高分和个最低分，剩下个得分的平均值为这次起跳的完成分；
    运动员该次滑雪的最后得分难度系数完成分．
    在某次自由滑雪大跳台比赛中，裁判给某运动员的打分满分分表为：

直接写出名裁判打分的众数和中位数分别是多少？
该运动员的最后得分是多少？

22. 某书店准备购进甲、乙两种图书共本进行销售，已知甲种图书的进价比乙种图书的进价少元本，且用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．
    求甲、乙两种图书每本的进价；
    该书店决定多于元购进这批图书，并按甲种图书元本，乙种图书元本进行销售，问该书店应如何进货，才能在这两种图书全部销售完时获得最大利润？并求出这个最大利润．
23. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴相交于点，过点作轴垂线交双曲线于点，且．
    求点的坐标；
    求的值．

24. 如图，在▱中，点是对角线的中点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接并延长交于点．
    求证：；
    过点作于点，并延长交于点，．
    求证：；
    若，求的长．

25. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
    求的值及直线的函数表达式；
    设点，且，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
    试求的面积用含的代数式表示；
    连接，在点的运动过程中是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，解得．
故选：．
先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接利用分式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在轴上，故本选项不合题意；
B.在第二象限，故本选项不合题意；
C.在第四象限，故本选项符合题意；
D.在第三象限，故本选项不合题意．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
小明这学期的体育成绩为：分，
故选：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小明这学期的体育成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
由在▱中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在菱形中，连接，
，．
是等边三角形．
．
当学具由菱形变成正方形后，它们的边长不变．
即正方形的边长．
在正方形中，连接．
．
．
点、之间的距离变化为：．
故选：．
在菱形中求出对角线的长，在正方形中求出对角线的长，然后比较一下即可．
本题主要考查了正方形与菱形的性质，熟记正方形，菱形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形，
由推出错误，由推出错误，
故选项B，，D错误，
故选：．
根据对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形即可判断．
本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入得：，则的坐标是．
不等式即，
根据图象，得：不等式的解集是：．
故选：．
首先求得的坐标，不等式即，根据图象即可直接求得解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的图象与直线在第一象限的一个交点为，
把代入得：
，即，
把代入，得：
，
，
，
，
，
，
故选：．
将分别代入两个函数解析式可得，，再利用完全平方公式进行变形可得答案．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，完全平方公式的运用，分式的通分等知识，利用整体思想是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂以及负整数指数幂，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即．
故答案为：．
根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
垂直且平分线段，
，
故答案为：．
由矩形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，
、，
，
故答案为：．
先根据反比例函数的系数判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出、、的大小．
本题考查了由反比例函数的图象和性质确定，，的关系．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
，
故答案为：．
由，得和代入所求的式子，化简即可．
本题考查了分式的化简，解题关键是用到了整体代入的思想．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
证明，根据勾股定理求出，再求出，证明≌，根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
 

17.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明全等三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，四边形即为所求；


如图，过点作于点．

四边形是菱形，
，，，
，
菱形的面积，
，
点到直线的距离为． 

【解析】以为圆心，为半径作弧交于点，分别以，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，四边形即为所求；
根据菱形面积的两种求法，构建关系式，可得结论．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：出现次数最多，名裁判打分的众数是；
把这组数据按照从小到大的顺序排列得：、、、、、、，根据中位数的定义知，中位数是．
名裁判打分的众数是，中位数是；
分．
答：该运动员的最后得分是分． 

【解析】根据众数和中位数的定义即可得出答案；
根运动员该次滑雪的最后得分难度系数完成分列出算式计算即可求解．
本题考查的是平均数、众数和中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数的值．
 

22.【答案】解：设甲图书的单价为元本，则乙图书的单价为元本，
根据题意可知，，
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合实际，
，
甲图书的单价为元本，则乙图书的单价为元本．
设购买甲种图书本，购买乙种图书本，
，
解得，
设利润为元，
则
，
，
随的减小而增大，
当时，的最大值为元，
此时，
当购买甲种图书本，购买乙种图书本时，利润最大为元． 

【解析】设甲图书的单价为元本，则乙图书的单价为元本，根据用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同列出方程求解即可；
设购买甲种图书本，购买乙种图书本，根据：总利润甲种图书的总利润乙种图书的总利润可列函数关系式；根据“多于元购进这批图书”解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
 

23.【答案】解：，
令，则，解得，
点坐标为；
过作于，如图，
轴，
点的横坐标为，
点坐标为，
，，
，
点坐标为，
点的纵坐标为，
而点在函数的图象上，
点的坐标为，
把代入，得，
． 

【解析】令，即可得到，解得即可；
过作于，由的坐标得到点坐标为，利用等腰三角形的性质，由，，得到，于是点坐标为，则可得到点的坐标为，然后把代入得到关于的方程，解方程即可求出的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及等腰三角形的性质．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
以点为圆心，为半径作弧，交于点，
，
，
；
证明：如图，过作于，交于，过作于，
则，

，
，
，
，，
，
，
又，
，
设，
则，，
，
；
解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
在等腰中，，
，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，由得，根据等量代换可以证明结论；
过作于，交于，过作于，根据三角形的外角性质得到，则可得出结论；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的对应边相等得到，最后根据平行四边形的性质可得即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
 

25.【答案】解：直线与轴交于点，
，解得，
直线，由得：，
，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；

当时，如图，

点，则点，点，
则，
则；
当时，如图，

点，则点，点，
则，，
则；
综上，；

如图所示：当点在轴的正半轴上时．

，
．
又，
．
．
，即，解得．
将代入得：，

如图所示：当点在轴的负半轴上时．

，
．
又，
．
．
，即，解得．
将代入得：，

点的坐标为或 

【解析】将点代入直线可得的值，然后利用对称性可得到点的坐标，接下来，利用待定系数法可求得的解析式；
分两种情况：当时；当时，先用含的式子表示出的长，利用三角形面积公式即可得出结论；
先证明，依据锐角三角函数的定义可得到，于是可求得的长，从而可求得点的横坐标，然后将点的横坐标代入函数解析式可求得点的坐标．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义，分类讨论是解本题的关键．