北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项式定理的推导教案

《二项式定理的推导》教学设计

西安市第八十三中学   廖伟民

一、教学内容解析

“二项式定理”是北师大版选择性必修第一册的知识内容，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式.它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法的延续和拓展.另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望，概率的二项分布等内容的基础知识，因此，二项式定理起着承上启下的作用.二项式定理是本章教学的一个重点.本节约需3个课时，本节课是第一课时.

二、教学目标设置

（1）新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析，，的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制订了如下教学目标：

1. 知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式.并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算，灵活正用和逆用展开式.

2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．

3.通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.

（2）教学重点，难点：

重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律.

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算.

（3）灵活正用和逆用展开式.

难点：二项展开式的规律的理解和掌握.

三、学情分析

１.有利因素

授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生.他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃.

２.不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．

四、教法策略分析

 把“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则作为主导思想，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学．

本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力.

五、教学过程

（一） 创设情境，引入课题

今天是星期五，7天后星期几， 15天后星期几，24天后星期几,天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几.

（二）感知体验，探究归纳

引入：初中学过的完全平方公式是什么？

你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？（学生自己完成，但是四次方难度较大，需要较多的时间，此时提示学生能否寻找规律.）

那么……的展开式是什么？

【设计意图】通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法.学生的学习遵循“历史发生原理”，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味，这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．

1．  归纳特点总结规律．

生：n次式展开有n+1项.

生：展开式中每一项都是n次式.

生：系数对称相等，第一项系数是1，第二项的系数是n.

生：杨辉三角.

师：我们主要从展开式的哪些方面来发现的这些规律？

生：项数、项、系数．

观察下式：

（a+b）3＝（a+b）（a+b）（a+b）研究其包含的内在联系和规律.

观察下式：

（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）研究其包含的内在联系和规律.

详细分析：由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

【设计意图：】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想.利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延.帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨.进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力.

2．  项的结构特点．

（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？）

师：根据多项式乘法法则，的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项．

【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．

3．  项的系数特点．

师：根据多项式乘法法则，各项的形成过程就是有关计数原理的问题．而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数．

【设计意图】本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．

（三）知识建构，形成定理

—— 二项式定理

证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由k个选了b，n－k个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理的公式特征：

①      项数：展开式共项；

②      次数：展开式中每一项的次数都是

按照字母降幂排列，次数由递减到0，字母升幂排列，次数由0递增到；

③      通项：是展开式的第项； 叫二项展开式的，用表示．

④      二项式系数：各项的系数

⑤      ，可以取字母，实数，多项式等等

【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．

（四）巩固新知 提升能力

（老师完成，示范作用，规范写法）

变式1：求第四项的二项式系数

变式1：求第四项的二项式系数

【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．

（五）问题解决，适度拓展

现在同学们能告诉老师天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几.

老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为，故应为星期六.
拓展：

二项式系数表就是杨辉三角，杨辉三角的发现比欧洲早了500多年，充分展示我国古代数学的辉煌发展，这是非常值得我们自豪和骄傲的事情，希望同学们秉承祖先的优良传统，继续努力，为中华民族的伟大复习做出自己的力量.

【设计意图】利用本节知识进行爱国主义教育和传统文化教育，培养学生的核心素养，达到以人为本的目的.

（六）回顾反思 归纳总结

知识方面：1.二项式定理，通项，二项式系数；2.应用

思想方法：从特殊到一般；观察—归纳—类比—猜想—证明．

【设计意图】师生共同完成，小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．

（七）课下作业 思维延伸

教材P172: 第 1~5题.

【设计意图】（1）本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰.

（2）通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质.