2021-2022学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校八年级（下）第一次调研数学试卷(含解析 )

2021-2022学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校八年级（下）第一次调研数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列说法中错误的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若 ，则

3. 如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

4. 下列命题中，真命题的个数为(    )
   一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等；
   定理的逆定理一定成立；
   经过旋转，对应线段平行且相等；
   等腰三角形的角平分线和中线重合；
   在平面直角坐标系中，关于原点成中心对称的两个图形中，对应点的横、纵坐标互为相反数．

A.  B.  C.  D.

5. 下列从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

7. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 若关于的不等式组，恰有个正整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使若，，，则以、、为边长的三角形的形状为(    )

A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 随、、的值而定

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕着原点按逆时针方向旋转得到点，延长到，使得；再将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到，使得如此继续下去，点坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设______．
12. 因式分解：______．
13. 如图是学校内一段台阶的截面图，高为米，直角边为米，现打算在台阶上铺上一整张防滑毯，防滑毯宽为米，至少需防滑毯的面积为______平方米．

14. 两个三角板如图放置，其中，，，，为的中点，连接若，将三角板绕点旋转，在旋转的过程中，线段存在最小值为______．

15. 如图，在中，，，，是斜边上一个动点，是直线上的一个动点，将沿折叠，使点的对应点落在直线上，连接，当是直角三角形时，线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 解下列不等式或不等式组
    ；
    ．
17. 在几何原本中，第个命题为在直角三角形中，直角所对的边上的正方形的面积等于夹直角两边上的正方形的面积和．古代人还没有发现勾股定理，他们是通过如图来证明这个命题是真命题的．请同学们认真阅读并完成命题的证明．已知在中，，分别以，，为边作正方形，求证：．

18. 如图，在平面直角坐标系中，把向右平移个单位长度得到，再绕点顺时针方向旋转度得到．
    分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．
    图中的能否由绕着某一点顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．

19. 已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式组．
    试求出的取值范围；
    在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
20. 如图，在中，，，是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，连接，，若，求的长．

21. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张．
    他用张号、张号和张号卡片拼出一个新的图形如图根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
    如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要号卡片______张，号卡片______张；
    当他拼成如图所示的长方形，根据张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
    请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式______．
22. 年月日，北京冬奥会圆满落幕，主题口号一起向未来倡导追求团结、和平、进步、包容的共同目标，是更快、更高、更强、更团结奥林匹克精神的中国宣扬，表达了世界需要携手走向美好未来的共同愿望．某商店购进了一批冬奥商品共件两种商品均有购进，每件型商品的进价比每件型商品的进价多元；件型商品进价比件型商品进价总额多元．
    求每件型冬奥商品和型冬奥商品的进价；
    若商店出售型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，为了庆祝中国奥运健儿夺金，商店决定将型商品的售价下调元，型商品的售价不变，且购进型商品的数量不少于型商品数量的三分之一，请求出该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案．
23. 如图，在中，，是边上的中点，三角板的直角顶点与重合，，直角三角形板绕点旋转使边交于点，边交于点、不与、重合，连接．
    如图，当时，
    请直接写出的取值范围；
    判断的形状并说明理由；
    判断四边形的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明变化的范围；
    如图，判断并说明线段，和的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由，得，必须规定，原变形错误，故此选项符合题意；
D、由 ，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：点是三条角平分线的交点，
和和的高相等，
的面积记为，的面积记为，的面积记为，
，，
由的三边关系得：，
，
故选：．
根据角平分线的性质和三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，符合题意；
定理的逆定理不一定成立，故错误，是假命题，不符合题意；
经过旋转，对应线段平行且相等，错误，是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角平分线和底边中线重合，故错误，是假命题，不符合题意；
在平面直角坐标系中，关于原点成中心对称的两个图形中，对应点的横、纵坐标互为相反数，正确，是真命题，符合题意，
真命题有个，
故选：．
利用全等三角形的判定方法、旋转的性质、等腰三角形的性质及点的坐标特点分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定方法、旋转的性质、等腰三角形的性质及点的坐标特点，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.

，计算错误，即不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.

，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据整式的乘法进行计算，两边不相等，即可判断选项B和选项D；根据因式分解的定义即可判断选项A和选项C．
本题考查了因式分解的定义和整式的乘法法则，能熟记因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式，
或，
一次函数的图象与轴交于点，
由图象可知，当时，；当时，，
关于的不等式的解集是或．
故选：．
由题意不等式，则或，根据函数的图象与轴的交点为进行解答即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
由旋转的性质可知：．
在和中，
，
≌．
，．
，
．
又，
，
，
又，
．
故选：．
连接根据即可证明≌，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，由正方形的面积减去和的面积即可得出答案．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，证得≌是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组恰有个正整数解，即，，，
．
故选：．
不等式组整理后，根据正整数解恰有个，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
将绕点顺时针旋转得到连接想办法证明，即可解决问题．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，连接．

是等边三角形，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，，为边长的三角形是钝角三角形，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
，
，，，
，
，
余，
点是第循环组的第个点，在第二象限，与轴正半轴夹角为，
点的坐标为，即
故选：．
根据每次旋转后线段的长度是原来的倍求出，根据旋转角为求出每次旋转，个点为一个循环组依次循环，然后用除以，再根据商和余数的情况确定出点在第二象限与轴正半轴夹角为，然后解答即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标的变化规律，读懂题目信息，理解点的规律变化是解题的关键．
 

11.【答案】一个三角形中至少有两个钝角 

【解析】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．
根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，需要地毯的长度等于，即米米米，
所以地毯的面积为平方米，
故答案为：．
根据平移的性质得到需要地毯的长度等于，即米米米，再根据长方形的面积公式求出面积即可．
本题考查平移，理解平移的性质是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

，，，
，
点是的中点，
，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当、、依次在同一直线上时，的值最小为．
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出与，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求得，当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，求得此时的便可．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是确定点的运动轨迹．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，过点作于点．

，，，
，
由翻折可知，，，，
，，
∽，
，
即，
设，则，，
，，
，，
∽，
，
即，
，，
，，
∽，
，
即，
解得，
．
当时，
此时点落在点，
．
故答案为：或．
当时，过点作于点由翻折可知，，，，根据∽，可得即，设，则，，则，，再结合∽，可得，，由∽，得，即，可求出，即得当时，此时点落在点，则．
本题考查翻折变换折叠问题、相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
，
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】证明：连接、、、，如图：

四边形、、是正方形，
，，，
，
≌，
，
与同底等高，
，
，
，
，
，
同理可证，
．
即． 

【解析】连接、、、，根据四边形、、是正方形，证明≌，得，又，，即得，同理，即可得．
本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质等，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理，证明≌．
 

18.【答案】解：如图，，即为所求；

能由绕着某一点顺时针旋转得到，旋转中心的坐标为，
是由绕着点顺时针旋转旋转得到． 

【解析】根据平移的性质和旋转的性质即可分别在图中画出平移和旋转后的两个图形；
根据对称点连线的垂直平分线的交点是旋转中心，连接，，分别作，的垂直平分线，交于点即可解决问题．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

19.【答案】解：，
得：，即，
得：，
代入得：，
解得：；
的解集为，
，
解得：，
，
，
则整数． 

【解析】方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围；
确定出不等式组的整数解，满足题意即可．
此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，，
．
是边的垂直平分线，
，，．
，
．
在中，，，
，．
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】利用三角形内角和定理求出由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出，，解，求出，再求出，，根据含度角的直角三角形的性质求出．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记定理是解题的关键．
 

21.【答案】         

【解析】解：大长方形的面积．
也等于各部分面积之和即：，
．
故答案为：．
把展开得：
．
号卡片数量是张，号卡片数量是张．
故答案为：、．
由图根据张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积，
．
故答案为：．
如图所示：

．
故答案为：．
把完全平方式和图形的面积相联系，从而得出乘法公式．
利用乘法公式把进行展开，找出和项的系数，也就是对应的卡片数量．
观察图形可以得出等于大长方形的面积．
根据号、号、号卡片的数量进行画图，从而得出结果．
考查了完全平方式和因式分解以及多项式乘多项式，找出与几何图形的面积是解题关键．
 

22.【答案】解：设每件型冬奥商品的进价为元，每件型冬奥商品的进价为元，
依题意得：，
解得：．
答：每件型冬奥商品的进价为元，每件型冬奥商品的进价为元．
设购进型商品件，则购进型商品件，
依题意得：，
解得：．
设该商店将件冬奥商品全部售出后获得的利润为元，则．
当，即时，随的增大而增大，
此时该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进件型商品，件型商品；
当，即时，的值与的值无关，
该商店购进这批商品获得的利润不变；
当，即时，随的增大而减小，
此时该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进件型商品，件型商品．
答：当时，该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进件型商品，件型商品；当时，该商店购进这批商品获得的利润不变；当时，该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进件型商品，件型商品． 

【解析】设每件型冬奥商品的进价为元，每件型冬奥商品的进价为元，根据“每件型商品的进价比每件型商品的进价多元；件型商品进价比件型商品进价总额多元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进型商品件，则购进型商品件，根据“购进型商品的数量不少于型商品数量的三分之一，且两种商品均有购进”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设该商店将件冬奥商品全部售出后获得的利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：当时，有最小值，
，
，
，
、不与、重合，
的取值范围是；
是等腰直角三角形，
理由：连接，

在等腰中，
是的中点，
，平分，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，，
，
是等腰直角三角形；
在旋转过程中，四边形的面积不发生变化，
≌，
四边形的面积的面积，
，
，
，
四边形的面积的面积；

延长至，使，连接，，

为的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】由题意可求出的取值范围；
连接，根据等腰三角形的性质得到，平分，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到四边形的面积的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论；
延长至，使，连接，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接构造全等三角形是解题的关键．