专题02 “相交线与平行线”中的思想方法-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

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专题训练（二）“相交线与平行线”中的思想方法可根据所求设未知数，利用角的关系用未知数表示相关量，找到等量关系列方程解决，起到事半功倍的效果。1．如图，直线，相交于点，，垂足为．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【答案】（1）125°；（2）150°【详解】（1），，；（2），设，又，，，又，，． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4：1，求∠AOF．【答案】【详解】设，则，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．图形问题中，有一部分没有给出图形需要自己画图的，一般都会是多解问题。3．如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是(　　　)A． B． C．或 D．以上都不对【答案】C【详解】∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A与∠B相等或互补．分两种情况：①如图1，当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=126°；②如图2，当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=18°．所以∠A=18°或126°．故选：C．4．如果两个角的两边互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别是______．【答案】，【详解】两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，根据题意，得这两个角只能互补，设其中一个角是x度，则另一个角是180-x度，根据题意，得，解得：，则180-72=108°，故答案为：72°，108°. 5．如果两个角的两条边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角的度数分别为_________．【答案】10°，10°或42°，138°【详解】∵两个角的两条边分别平行，∴这两个角相等或互补．设一个角为x，则另一个角为4x-30°，若两个角相等，则x=4x-30°，解得：x=10°，∴4x-30°=4×10°-30°=10°；若两个角互补，则x+（4x-30°）=180°，解得：x=42°，∴4x-30°=4×42°-30°=138°．∴这两个角是42°、138°或10°、10°．故答案是：10°，10°或42°，138°． 等积变换：1.直角三角形中，常用等积变换求斜边的高。平行线间的距离，变换等高。割补法也是解决面积的好方法。6．如图，，，则点O到PR所在直线的距离是线段（      ）的长．A．OQ B．OR C．OP D．PQ【答案】A【详解】∵OQ⊥PR，∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．故选A．7．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__________。【答案】48.【详解】由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO（AB+OE）•BE×（10+6）×6＝48．故答案为48．建模思想通常是把生活中的问题抽象为数学模型来进行解决。8．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题,如图所示：已知AB∥CD,∠BAE=87°,∠DCE=121°,则∠E的度数是_____【答案】34°【详解】如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD,∠BAE=87°，∴∠CFE=87°，又∵∠DCE=121°，∴∠E=∠DCE−∠CFE=121°−87°=34°，故答案为34°9．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是_____．【答案】垂线段最短【详解】根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．故答案为垂线段最短.