专题05 实数中的数学思想-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

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专题训练（五）实数中的数学思想各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质．1．先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中x＝                  ，y＝         ；(2)从表格中探究a与数位规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈                                ；②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代数式表示b，则b＝         ；(3)试比较与a的大小．【答案】(1)0.1，10 (2)①31.6；② (3)当时，；当时，；当时，；当时，【详解】(1)解：根据题意得：；(2)解：根据题意得：当a扩大100倍时，扩大10倍，①∵≈3.16，∴；②∵＝8.973，＝89.73，∴；(3)当时，，此时；当时，，此时；当时，根据a与数位规律得：；当时，根据a与数位规律得：；综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，．2．观察下列各式：2，3，4．(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．【答案】(1)；(2)规律n（n＞1）【详解】(1)解：根据前几个等式的变化规律，则有；(2)解：∵2=2，3=3，4=4．∴规律为：n（n＞1），证明：=n（n＞1）．   3．阅读下列解题过程：；；；…(1)______，________．(2)观察上面的解题过程，则________（n为自然数）(3)利用这一规律计算：．【答案】(1)，   ；(2)；(3)【详解】(1)解：，，故答案是：，；(2)解：===，故答案是：;(3)解：原式． 转化思想就是将一个待解决的问题A，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B，从而获得问题A的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小．比较大小：和．【答案】【详解】∵||，||，（）2，（）2，而，∴．5．通过估算比较与的大小。【答案】【详解】∵2，∴，∴．当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法．6．求方程(x－3)2＝9中x的值．【答案】x的值为0或－12【详解】两边开平方得x－3=±3，①当x－3=3时，解得x=12；②当x－3=－3时，解得x=0．∴x的值为0或－12．7．求x的值：4（x﹣1）2＝25．【答案】x或x【详解】∵4（x﹣1）2＝25，∴（x﹣1）2，∴x﹣1或x﹣1，解得：x或x．“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的．8．在有理数和对应点在数轴上如图所示：（1）大小比较：、、、、用“<”连接；（2）化简：．【答案】（1）a＜−b＜b＜−a；（2）−2-a．【详解】（1）根据数轴上点的特点可得：a＜−b＜b＜−a；（2）根据数轴给出的数据可得：a＜0，a＋b＜0，a−b＜0，b−1＜0，则=＝−a−b−（b−a）−2（1−b）-a＝−a−b−b＋a−2＋2b-a＝−2-a．9．如图，已知．（1）说出数轴上点所表示的数；（2）比较点所表示的数与的大小．【答案】（1）点表示；（2）【详解】（1），即数轴上点所表示的数是；（2），，即比较点所表示的数大于．10．下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．由图中面积计算，，另一方面由题意知，所以．略去，得方程，解得，即．(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）(2)仿照上述方法，在的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.01（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）【答案】(1)，理由见详解；(2)，理由见详解．【详解】（1）设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，∵S正方形=x2+2×2•x+4，而S正方形=5，∴x2+2×2•x+4=5，略去x2，得方程4x+4=5，解得x=0.25，即；(2)解：∵x2＞0，∴2x+1＜2，∴x＜0.5，∴．∴设，示意图如图所示．由面积公式，可得x2+2x（1.5-x）+2=1.52，整理，得-x2+3x+2=2.25，略去x2，得方程3x+2=2.25，解得x=0.0833…．即 ．