2021-2022学年河北省沧州市孟村县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省沧州市孟村县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 在实数，，，中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 将点沿轴先向左平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度得到点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，与是同旁内角的角有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

5. 如图，能判断直线的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 面积为的正方形的边长在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离(    )

A. 小于 B. 等于 C. 不大于 D. 等于

8. 已知点，，点在轴上，且的面积为，则点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

9. 把矩形和矩形按如图的方式放置在直线上，若，则为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

11. 如图，已知，，平分，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知点在轴上，点在轴上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 若一个自然数的算术平方根是，则下一个自然数的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

14. 观察下列计算过程：，由此猜想(    )

A.    B.    C.    D.  

15. 如图，给出下列四个条件：；；；其中能使的条件为(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一根长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共12分）

17. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．

18. 已知，，线段轴，且若，则______．
19. 一个正数的平方根分别是和，则______，这个正数的立方根是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

20. 计算：
    ；
    ．
21. 如图，在方格纸中小正方形的边长为，三角形的三个顶点均为格点，将三角形沿轴向左平移个单位长度，根据所给的直角坐标系是坐标原点，解答下列问题：
    画出平移后的三角形，并直接写出点的坐标；
    求出在整个平移过程中，三角形扫过的面积．

22. 如图，，．
    试说明：；
    若是的平分线，，求的度数．

23. 已知与互为相反数．
    求的平方根；
    解关于的方程．
24. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
    
    求的值；
    求的值．
25. 问题情境：在平面直角坐标系中有两个不重合的点，分别为点和点若，，则线段轴，且线段的长度为；若，，则线段轴，且线段的长度为．
    应用：
    若点，的坐标分别为，，则线段______轴，的长度为______．
    若点，且线段轴，，则点的坐标为______．
    拓展：
    我们规定：在平面直角坐标系中，若，，则式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作，即例如：有点与点，则线段的勾股距为．
    解决下列问题：
    已知，若，则______．
    已知，，若，求的值．
26. 在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
    
    如图，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
    如图，小颖把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
    如图，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，，则与的数量关系是什么？用含，的式子表示．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较．解题的关键是掌握任意两个实数比较大小的方法．正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：将点沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度后得到点，
的坐标是，
即：．
故选B．
根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可求得答案．
此题考查了坐标与图形变化平移，正确掌握平移规律是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．根据算术平方根的定义逐一计算即可得．
【解答】
解：、，此选项正确；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：根据同旁内角的定义，图中与是同旁内角的角有三个，分别是，，故选C．
根据同旁内角的定义，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
判断是否是同旁内角，必须符合三线八角中，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
而当时，，
当时，，
，
则．
故选：．
根据平行线的判定得时，，由于，所以时，．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
 

6.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
，
故选：．
首先求出正方形的边长即可解决问题．
本题考查无理数的估算，解题的关键是学会利用逼近法解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了点到直线的距离、垂线段最短，根据“连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”进行解答．
【解答】
解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，
点到直线的距离，
即点到直线的距离不大于．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，点在轴上，
边上的高为，
又的面积为，
，
而点可能在点的左边或者右边，
或．
故选：．
根据点的坐标可知边上的高为，而的面积为，点在轴上，说明，已知点的坐标，可求点坐标．
本题考查了直角坐标系中，利用三角形的底和高及面积，表示点的坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
先根据：，，即可得到，再根据，可得．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：为非负数，
为正数，
点的符号为
点在第二象限．
故选：．
先判断出点的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点所在象限即可．
本题考查了象限内的点的符号特点，注意加任意一个正数，结果恒为正数．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
．
平分，
．
，
．


．
故选：．
利用平行线和角平分线的性质先求出的度数，再利用平角求出．
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握“两直线平行，同旁内角互补”、垂线的性质及角的和差关系是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在轴上，点在轴上，
，，
解得，，
，
故选：．
根据轴上的点的纵坐标为；轴上的点的横坐标为，分别求出、的值，再计算即可．
本题考查点的坐标的相关知识，熟知轴和轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个自然数的算术平方根是，
这个自然数是，
下一个自然数是，
下一个自然数的算术平方根是：．
故选：．
先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的下一个自然数的算术平方根即可．
本题考查了算术平方根的定义，先根据算术平方根求出这个数及它的下一个自然数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选A．
被开方数是从到再到的连续自然数，算术平方根就等于几个．
本题是一道规律性的题目，考查了算术平方根的求法，掌握规律是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，不能使，故不符合题意；
由，能使，故符合题意；
由，能使，不能使，故不符合题意；
由，能使，故符合题意．
故选：．
根据平行线的判定进行逐一判断即可．
本题主要考查平行线的判定，掌握内错角相等两直线平行是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，四边形为长方形，
．
，
细线的另一端在线段上，且距点个单位长度，
细线的另一端所在位置的点的坐标是，即．
故选：．
由点，，，的坐标可得出四边形为长方形及，的长，由长方形的周长公式可求出长方形的周长，结合可得出细线的另一端在线段上且距点个单位长度，结合点的坐标即可得出结论．
本题考查了规律型：点的坐标，由四边形的周长找出细线另一端点所在的位置是解题的关键．
 

17.【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 

【解析】

【分析】
本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】
解：根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．  

18.【答案】 

【解析】解：轴，，，
，
点的坐标为．
，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等求出，即可得解．
本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键．
 

19.【答案】  

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
则，，
所以，
所以这个正数的立方根是．
故答案为：，．
根据平方根的定义得到和互为相反数，求出的值，即可确定出的值，利用立方根的定义求出的立方根即可．
此题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解本题的关键．
 

20.【答案】解：

；


． 

【解析】先进行去括号运算，再算加减即可；
先去绝对值符号，二次根式的化简，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．．

在整个平移过程中，三角形扫过的面积平行四边形的面积的面积．
 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
三角形扫过的面积平行四边形的面积的面积．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
；
，，
，
是的平分线，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质可得，从而可求得，即可判断；
由题意可求得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
 

23.【答案】解：由题意，得，，解得  ，．
，
的平方根为．
把，代入方程，得，即，
解得． 

【解析】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．
依据非负数的性质可求得、的值，然后再求得的值，最后依据平方根的定义求解即可；
将、的值代入得到关于的方程，然后解方程即可．
 

24.【答案】解：蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位长度到达点，
点所表示的数比点所表示的数大．
点表示，点表示，
；





． 

【解析】利用数轴上两点之间距离求法得出答案；
直接利用绝对值的性质以及完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

25.【答案】    或   

【解析】解：点，的坐标分别为，，
轴，，
故答案为：，；
点，且线段轴，，
或，
故答案为：或；
，若，
，
故答案为：；
，，
，
，
或．
直接根据定义可得答案；
分点在的上方和下方两种情形；
根据勾股距的定义，直接代入即可；
根据勾股距的定义可得，解方程即可．
本题是新定义题，考查了两点间的距离，两点之间的折线距离等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：，
．
，，
，解得；
如图，过点作，

，
．
，．
．
，
；
理由如下：
，
．
即，
整理得． 

【解析】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．
根据平行线的性质可知，依据，可求解的度数；
过点作，易得，通过平行线的性质把和转化到上即可；
依据，可知，再代入，，即可求出．