06解答题提升题、压轴题-浙江台州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编

这是一份06解答题提升题、压轴题-浙江台州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编，共28页。试卷主要包含了提升题，压轴题等内容，欢迎下载使用。
06解答题提升题、压轴题-浙江台州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编

一、提升题
30．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
31．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

32．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．
①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；
②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由；
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．
①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（ 　 　）
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形． （ 　 　）

33．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP＝FD．
（1）求的值；
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．

34．（2018•台州）如图，函数y＝x的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点P（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）直线y＝4与函数y＝x的图象相交于点A，与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B，求线段AB长．

35．（2018•台州）某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目，满分为10分．有关部门为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表（部分信息未给出）：
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
抽取的男生“引体向上”成绩统计表
成绩
人数
0分
32
1分
30
2分
24
3分
11
4分
15
5分及以上
m
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　．
（2）求扇形统计图中D组的扇形圆心角的度数；
（3）目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数．

36．（2018•台州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC＝CE；
（2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若＝，求BC的长；
②当为何值时，AB•AC的值最大？

二、压轴题
37．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．

38．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

39．（2018•台州）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．

40．（2018•台州）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．








参考答案与试题解析
一、提升题
30．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，
∴AA1＝BB1＝AB，
在△A1AB1和△B1BC1中，
，
∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），
∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，
∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，
∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，
∴∠A1B1C1＝90°，
同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）解：设AB＝a，
则AB1＝4a，AA1＝a，
由勾股定理得：A1B1＝a，
∴＝＝；
（3）相邻线段的比为或．
证明如下：∵BB1＝AB，B1B2＝A1B1，
∴＝＝，
同理可得：＝，
∴相邻线段的比为或（答案不唯一）．
31．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6cm；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
32．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．
①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；
②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由；
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．
①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（ 　假　）
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形． （ 　假　）

【解答】（1）①证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，，
∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
②解：若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中，，
∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，
∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）解：①若AC＝CE＝EA，如图3所示：
则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
在△AEF、△CAB和△ECD中，，
∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），
如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假；
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，
在△BFE和△FBC中，，
∴△BFE≌△FBC（SSS），
∴∠BFE＝∠FBC，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴∠AFE＝∠ABC，
在△FAE和△BCA中，，
∴△FAE≌△BCA（SAS），
∴AE＝CA，
同理：AE＝CE，
∴AE＝CA＝CE，
由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假．


33．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP＝FD．
（1）求的值；
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．

【解答】解：（1）设AP＝FD＝a，
∴AF＝2﹣a，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD
∴△AFP∽△DFC
∴
即
∴a＝﹣1
∴AP＝FD＝﹣1，
∴AF＝AD﹣DF＝3﹣
∴＝
（2）在CD上截取DH＝AF

∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，
∴△PAF≌△FDH（SAS）
∴PF＝FH，
∵AD＝CD，AF＝DH
∴FD＝CH＝AP＝﹣1
∵点E是AB中点，
∴BE＝AE＝1＝EM
∴PE＝PA+AE＝
∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，
∴EC＝
∴EC＝PE，CM＝﹣1
∴∠P＝∠ECP
∵AP∥CD
∴∠P＝∠PCD
∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF
∴△FCM≌△FCH（SAS）
∴FM＝FH
∴FM＝PF
（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，

∵EN⊥AB，AE＝BE
∴AQ＝BQ＝AP＝﹣1
由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，
∵点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）
∴直线BN解析式为：y＝x﹣2
设点B'（x，x﹣2）
∴AB'＝＝2
∴x＝
∴点B'（，﹣）
∵点Q'（﹣1，0）
∴B'Q'＝≠﹣1
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．
34．（2018•台州）如图，函数y＝x的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点P（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）直线y＝4与函数y＝x的图象相交于点A，与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B，求线段AB长．

【解答】解：（1）∵函数y＝x的图象过点P（2，m），
∴m＝2，
∴P（2，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象过点P，
∴k＝2×2＝4；

（2）将y＝4代入y＝x，得x＝4，
∴点A（4，4）．
将y＝4代入y＝，得x＝1，
∴点B（1，4）．
∴AB＝4﹣1＝3．
35．（2018•台州）某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目，满分为10分．有关部门为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表（部分信息未给出）：
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
抽取的男生“引体向上”成绩统计表
成绩
人数
0分
32
1分
30
2分
24
3分
11
4分
15
5分及以上
m
（1）填空：m＝　8　，n＝　20　．
（2）求扇形统计图中D组的扇形圆心角的度数；
（3）目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数．

【解答】解：（1）由题意可得，
本次抽查的学生有：30÷25%＝120（人），
m＝120﹣32﹣30﹣24﹣11﹣15＝8，
n%＝24÷120×100%＝20%，
故答案为：8，20；
（2）＝33°，
即扇形统计图中D组的扇形圆心角是33°；
（3）3600×＝960（人），
答：“引体向上”得零分的有960人．
36．（2018•台州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC＝CE；
（2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若＝，求BC的长；
②当为何值时，AB•AC的值最大？

【解答】解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D＝∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D＝180°，
又∠BEC+∠AEC＝180°，
∴∠A＝∠AEC，
∴AC＝AE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF＝CG，

由（1）知AC＝CE＝CD，
∴CF＝CG＝AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF＝180°，
又∵∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠G＝∠BEF，
∵∠EBF＝∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴＝，即BF•BG＝BE•AB，
∵BF＝BC﹣CF＝BC﹣AC、BG＝BC+CG＝BC+AC，BE＝CE＝AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）＝AB•AC，即BC2﹣AC2＝AB•AC；

（3）设AB＝5k、AC＝3k，
∵BC2﹣AC2＝AB•AC，
∴BC＝2k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC＝AC＝3k，MC＝BC＝k，
∴DM＝＝k，
∴OM＝OD﹣DM＝3﹣k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2＝OC2得（3﹣k）2+（k）2＝32，
解得：k＝或k＝0（舍），
∴BC＝2k＝4；
②设OM＝d，则MD＝3﹣d，MC2＝OC2﹣OM2＝9﹣d2，
∴BC2＝（2MC）2＝36﹣4d2，
AC2＝DC2＝DM2+CM2＝（3﹣d）2+9﹣d2，
由（2）得AB•AC＝BC2﹣AC2
＝﹣4d2+6d+18
＝﹣4（d﹣）2+，
∴当d＝，即OM＝时，AB•AC最大，最大值为，
∴DC2＝，
∴AC＝DC＝，
∴AB＝，此时＝．
二、压轴题
37．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．

【解答】（1）①证明：∵＝，
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

②解：连接OA交BD于J，连接OC．

∵＝，
∴OA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴A，O，C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2，OD＝3，
∴OJ＝＝＝1，
∴AJ＝OA﹣OJ＝3﹣1＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2，
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8．

（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJ⊥BD于J．

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵CD∥AB，
∴DP⊥AB，
∴PA＝PB，
∴DB＝AD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝2，
∴OH⊥BD，
∴∠DHO＝∠DPB＝90°，
∵∠ODH＝∠BDP，
∴△DHO∽△DPB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DP＝，PB＝，
∴AB＝2PB＝，
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．

综上所述，AB的长为4或．
②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵•AB•DP＝•BD•AJ，
∴AJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∴JH＝BH﹣BJ＝2﹣＝，
∴tan∠AHJ＝＝＝，
如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
38．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠EFB＝∠EDB，∠EBF＝∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴△BEF是直角三角形．

（2）证明：∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠EFB＝∠EDB，
∴∠EFB＝∠BCD，
∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAB，
∴∠BFE＝∠CAB，
∵∠ACB＝∠FEB＝90°，
∴△BEF∽△BCA．

（3）解：设EF交AB于J．连接AE．
∵EF与AB互相平分，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF∥BD，
∵AJ＝JB，
∴AF＝DF，
∴FJ＝BD＝，
∴EF＝m，
∵△ABC∽△CBM，
∴BC：MB＝AB：BC，
∴BM＝，
∵△BEJ∽△BME，
∴BE：BM＝BJ：BE，
∴BE＝，
∵△BEF∽△BCA，
∴＝，
即＝，
解得m＝2（负根已经舍弃）．

39．（2018•台州）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．

【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，记AE与CF的交点为M，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBF，
由（1）知，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AE⊥CF；

（3）如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC＝2，
∴BC＝AC＝2，
∵CE＝1，
∴CD＝CE＝1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝3，
∵点F是BD中点，
∴CF＝DF＝BD＝，
同理：EG＝AE＝，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，
∴FH＝CD＝，
∴S△CEF＝CE•FH＝×1×＝，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，
∴ME＝，
∴ME＝，
∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，
∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．


40．（2018•台州）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

【解答】解：（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，
将A（8，10）、B（24，26）代入，得：
，
解得：，
∴P＝t+2；

（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240；
当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；
当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；
②当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，
∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，
当2（t+3）2﹣2＝336时，解得t＝10或t＝﹣16（舍），
当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，
此时月销量P＝t+2在t＝10时取得最小值12，在t＝12时取得最大值14；
当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，
当t＝12时，w取得最小值448，
由﹣（t﹣21）2+529＝513得t＝17或t＝25，
∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，
此时P＝t+2的最小值为14，最大值为19；
综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．