浙江省宁波市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编-06解答题（提升题）知识点分类

这是一份浙江省宁波市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编-06解答题（提升题）知识点分类，共35页。试卷主要包含了【证明体验】，定义，【基础巩固】等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编-06解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2018•宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
二．二次函数图象与几何变换（共1小题）
2．（2018•宁波）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
三．四边形综合题（共2小题）
3．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

4．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

四．圆的综合题（共5小题）
5．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．


6．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．

7．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

8．（2019•宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．
（3）设＝x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连接OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

9．（2018•宁波）如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连接OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连接CE，当CE＝EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．
五．相似形综合题（共3小题）
10．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．


11．（2020•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

12．（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
六．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2018•宁波）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．

参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2018•宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，＝，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
二．二次函数图象与几何变换（共1小题）
2．（2018•宁波）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y＝﹣x2．
三．四边形综合题（共2小题）
3．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BDE＝∠ADE，
∴DE平分∠ADB．
（2）如图2，∵FB＝FC，
∴∠EBD＝∠GCD；
∵∠BDE＝∠CDG＝60°，
∴△BDE∽△CDG，
∴；
∵△EAD≌△CAD，
∴DE＝CD＝3，
∵DG＝2，
∴BD＝＝＝.
（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，
∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCF，
即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴，∠DEC＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝2，
∴CE＝＝＝4；
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠EAD＝∠DAC（公共角），
∴△EAD∽△DAC，
∴＝，
∴AC＝2AD，AD＝2AE，
∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．



4．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），

四边形AFEB为所求；

（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
四．圆的综合题（共5小题）
5．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．


【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，②
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，
∴∠BFD＝90°﹣；
（2）由（1）得∠BFD＝90°﹣，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝α，
∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α，
∵DE＝DG，
∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝，
∴与所对的圆心角度数之比为3：2，
∴与的长度之比为3：2，
∵＝2，
∴＝3；
②如图，连接BO，

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α，
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°﹣，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴，
∵，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴＝＝，
由＝k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k＝或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴cosα＝．
方法二：连接OB，作BM⊥AD于M，

由题意知，△BDE和△BEF都是等腰三角形，
∴EM＝MF，
设OE＝4，OF＝11，
设DE＝m，则OB＝m+11，OM＝3.5，BD＝m+15，DM＝m+7.5，
∴OB2﹣OM2＝BD2﹣DM2，
即（m+11）2﹣3.52＝（m+15）2﹣（m+7.5）2，
解得m＝5或m＝﹣12（舍去），
∴cosα＝．
6．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．

【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，
∴AB＝×AD＝，
∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，
∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG＝DG＝，DE＝DG＝，
在Rt△FED中，DF＝＝，
∴FG+DG+DF＝，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，

∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴＝，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
7．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
8．（2019•宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．
（3）设＝x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连接OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝6，
∴BG＝，
∴在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝3：2，
∴BE＝BG＝2，
∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，
在Rt△AEG中，AE＝；
（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，

∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴在Rt△BEH中，，
∴EH＝，BH＝，
∵，
∴BG＝xBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，
∴在Rt△AHE中，tan∠EAD＝，
∴y＝；
②如图2，过点O作OM⊥BC于点M，

设BE＝a，
∵，
∴CG＝BG＝xBE＝ax，
∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，
∴EM＝EC＝a+ax，
∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴，
∵AG＝，
∴BF＝，
∴△OFB的面积＝，
∴△AEC的面积＝，
∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，
∴，
∴2x2﹣7x+6＝0，
解得：，
∴，
9．（2018•宁波）如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连接OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连接CE，当CE＝EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．
【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），
∴﹣×4+b＝0，
∴b＝3，
∴直线l的函数表达式y＝﹣x+3，
∴B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝；

（2）①如图2，连接DF，∵CE＝EF，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠CDF＝2∠CDE，
∵∠OAE＝2∠CDE，
∴∠OAE＝∠ODF，
∵四边形CEFD是⊙A的圆内接四边形，
∴∠OEC＝∠ODF，
∴∠OEC＝∠OAE，
∵∠COE＝∠EOA，
∴△COE∽△EOA，
②过点E作EM⊥OA于M，
由①知，tan∠OAB＝，
设EM＝3m，则AM＝4m，
∴OM＝4﹣4m，AE＝5m，
∴E（4﹣4m，3m），AC＝5m，
∴OC＝4﹣5m，
由①知，△COE∽△EOA，
∴，
∴OE2＝OA•OC＝4（4﹣5m）＝16﹣20m，
∵E（4﹣4m，3m），
∴（4﹣4m）2+9m2＝25m2﹣32m+16，
∴25m2﹣32m+16＝16﹣20m，
∴m＝0（舍）或m＝，
∴4﹣4m＝，3m＝，
∴E（，），
（3）如图，设⊙A的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∴AB×OG＝OA×OB，
∴OG＝，
∴AG＝＝×＝，
∴EG＝AG﹣AE＝﹣r，
连接FH，
∵EH是⊙A直径，
∴EH＝2r，∠EFH＝90°＝∠EGO，
∵∠OEG＝∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴，
∴OE•EF＝HE•EG＝2r（﹣r）＝﹣2（r﹣）2+，
∴r＝时，OE•EF最大值为．

五．相似形综合题（共3小题）
10．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．


【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝；
（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵MG∥BD，
∴ME＝GE，
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝10，
在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC＝∠EFG＝50°，
∵FM＝FG，EF⊥GM，
∴∠MFE＝∠EFG＝50°，
∴∠MFN＝30°，
∴MN＝MF＝5，
∴NF＝＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝MN＝5，
∴BF＝BN+NF＝5+5．

11．（2020•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
12．（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，
①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；
②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；
③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；
所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴＝，即CA2＝BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC•AB，
∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，
∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴＝，即AB•BC＝BH•DB，
∴AB•BC＝BD2，
又∵AB•BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴＝．
六．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2018•宁波）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．
【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，
由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%
所以：20÷10%＝20×＝200（人）
即本次调查的学生人数为200人；
（2）由条形图知：C级的人数为60人
所以C级所占的百分比为：×100%＝30%，
B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%＝15%，
B级的人数为200×15%＝30（人）
D级的人数为：200×45%＝90（人）
B所在扇形的圆心角为：360°×15%＝54°．
（3）因为C级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%＝360（人）
答：估计全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．