2020-2021学年3.1 函数的概念及其表示学案

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《3.1.2函数的表示法》导学案      参考答案新课导学  （一）新知导入【思考1】都是函数关系.【思考2】（1）是图象法；（2）是列表法.（二）函数的表示法数学表达式         表格      图象【思考3】 列表法图象法解析法定义用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优 点不必通过计算就能直接看出与自变量的值相对应的函数值可以直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于研究函数的性质简明全面的概括了变量之间的对应关系；通过解析式可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值缺 点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它的解析式 【辩一辩】(1)×　(2)×　(3)×例1.【解】这个函数的定义域是数集{1，2， 3，4，5}.用解析法可将函数y=f（x）表示为 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}用列表法可将函数y=f(x)表示为用图像法可将函数y=f(x)表示为   【巩固练习1】【答案】1   1【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1.（三）函数解析式的求法例2.【解】（1）　∵f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，∴f[g(x)]＝f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋1＝4x2＋4x＋2.即　4x2＋4x＋2（2）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.（3）法一：换元法设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，　 ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：配凑法∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．（4）∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.[巩固练习2] 【解】（1）　∵f(x)＝x＋a，∴f(x－1)＝x－1＋a.又f(x－1)＝x＋6，∴x－1＋a＝x＋6，∴a＝7.（2）设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即，解得或  ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.（3）因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．（4）因为对任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f=x成立,所以对于∈R,且≠0,有f+2f(x)=,两式组成方程组②×2-①得,f(x)=.（四）分段函数【探究1】(1)有函数关系(2)y＝(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同分段函数定义 对应关系       一个     并集   空集【辩一辩】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√    (5)√例3. 【解】　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2，∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意；当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.【巩固练习3】【解析】（1）由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.（2）当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－或x0＝10.答案：（1）C      （2）－或10 （五）函数的图象及应用 例4.  【解】　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．函数的值域为[1,5]．(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．函数的值域为(0,1]．(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．函数的值域为[－1,8]． （4）函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，函数的值域为．例5.【解】（1）同一直角坐标系中函数的图象如图所示：（2）结合的定义，可得函数的图象.由解得.由图易知的解析式为= 【巩固练习4】1.解　(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．【解】　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.所以f(x)＝(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． （六）函数的实际应用 例6.【解】(1)设线段AD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将点A(2,20)，D(0,10)代入，得，解得，∴线段AD的解析式为y＝5x＋10(0≤x≤2)．∵双曲线y＝经过B(12,20)，∴20＝，解得k＝240，∴BC段的解析式为y＝(12≤x≤24)．综上所述，y与x的函数解析式为：y＝(2)当x＝18时，y＝＝，由于<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．(3)令y＝15，当0≤x≤2时，解5x＋10＝15，得x＝1，当12≤x≤24时，解＝15，得x＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．【巩固练习5】【解】　(1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数的解析式．当点P在线段BC上移动时，即0＜x≤6，BP＝x，于是S△APB＝AB·BP＝×6×x＝3x；当点P在线段CD上移动时，即6＜x≤12，S△APB＝AB·BC＝×6×6＝18；当点P在线段DA上移动时，即12＜x＜18，S△APB＝AB·PA＝×6×(18－x)＝54－3x.于是y＝(2)画出y＝f(x)的图象，如图②所示．  （七）操作演练  素养提升[答案]    1.D   2.C     3.-2     4.