人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案及答案

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 《5.1.2弧度制》导学案

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第五章 三角函数

5.1.2弧度制

学习目标：

1.理解“1弧度的角”的定义，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系，培养数学抽象的核心素养；

2.掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数，提升数学运算的核心素养；

2.掌握扇形的弧长公式和扇形面积公式，强化数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；

2.难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　任意角的概念：                                 

②　象限角：                                       

③终边相同的角：                                  

3. 预习——

      1弧度角的概念：                                           

弧度制：                                                   

弧度与角度的换算：                                                    

     扇形弧长与面积公式：                                                      

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．

2. 探索交流，解决问题

【探究1】 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？

【探究2】1°的角是如何定义的？

【探究3】日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值，那么有没有一种更好的方法去表示角呢？

（二）弧度的概念

【探究4】在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？

【探究5】角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，

（1）分别计算相对应的弧长l

（2）分别计算对应弧长与半径之比

通过上面的计算，你发现了什么规律？

弧度的概念

 把长度等于        的弧所对的       叫做        的角.

  弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做       ，它的单位是      ，单位符号是     .

约定： 正角的弧度数为        ，

       负角的弧度数为       ，

       零角的弧度数为        .

【思考1】圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?

【思考2】如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？

结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的      与        的比的绝对值。

【做一做】判断正误

(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　)

(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　)

(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　)

(4)1 rad的角比1°的角要大．(　　)

（三）角度与弧度的换算

【探究6】一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？

【探究7】根据上述关系，1°等于多少弧度，  1 rad等于多少度？

角度与弧度的换算：

=

注意：角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。

常规写法

① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数．

②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.

③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。

【做一做】填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

3. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，

          任意角的集合         实数集R

【做一做】－135°化为弧度为________，化为角度为________．

（四）扇形的弧长公式与面积公式

【探究】初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？　　

扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝，则

【做一做1】半径为1，圆心角为的扇形的面积为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．π   D.

【做一做2】圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．

（五）典型例题

1.角度与弧度的互化

例1.　(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：

α1＝－π，α2＝π，α3＝9，α4＝－855°；

(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：，－315°，－；

(3)在0°～720°中找出与终边相同的角．

【类题通法】1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．

2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记。

【巩固练习1】(1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．

(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？

2.扇形的弧长与面积公式

例2. 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？

【类题通法】求扇形的弧长和面积的解题技巧

(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝lR＝|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

【巩固练习2】(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；

(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．

（六）操作演练  素养提升

1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　)

A．(k∈Z)            B．(k∈Z)

C．(k∈Z)             D．(k∈Z)

2．与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A．           B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}        D．

3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A．π       B．π       C．π       D．π

4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．

　  5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第175页  练习     第1，2，3,5,6题

         第176 页   习题5.1  第3,4,5，6,,8,9题