高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案设计

3.1.2　函数的表示法

课程标准

(1)掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)会求函数的解析式．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　函数的三种表示方法

要点二　分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数❹.

助 学 批 注

批注❶　便于用解析式来研究函数的性质．

批注❷　能直观形象地表示出函数的变化情况．

批注❸　不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．

批注❹　分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)所有的函数都能用解析法表示．(　　)

(2)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(　　)

(3)函数f(x)＝，是分段函数．(　　)

(4)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)

2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝－    B．f(x)＝

C．f(x)＝3x     D．f(x)＝－3x

3．已知函数f(x)＝，则f(－1)的值为(　　)

A．－1　　　B．0    C．1　　　D．2

4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　与函数图象有关的问题

例1　作出下列函数的图象．

(1)y＝，x∈[2，＋∞);

(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].

方法归纳

作函数图象的一般步骤

巩固训练1　画出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x≤0);

(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．

题型 2　求函数的解析式

例2　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；

(2)已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式；

(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝x，求函数f(x)的解析式．

方法归纳

求函数解析式的方法

巩固训练2　(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．

(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为________．

(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为________．

题型 3　分段函数

角度1　分段函数求值

例3　已知函数f(x)＝

(1)求f(f(f(－2)))的值；

(2)若f(a)＝，求a.

方法归纳

分段函数求值的步骤

巩固训练3　(1)已知函数f(x)＝，则f(f(3))＝(　　)

A．    B．3

C．    D．

(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝8，则x＝(　　)

A．－3或1    B．－3

C．1          D．3

角度2　分段函数的应用

例4　为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．

方法归纳

分段函数应用问题的2个关注点

巩固训练4　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

3.1.2　函数的表示法

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

数学表达式　图象　表格

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：设f(x)＝(k≠0)，

∵f(－3)＝＝－1，∴k＝3，

∴f(x)＝.

答案：B

3．解析：因为－1<0，所以f(－1)＝－1.

答案：A

4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，

∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.

答案：1　1

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)列表：

画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)．

(2)列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．

巩固训练1　解析：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.

例2　解析：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，

∴∴或

∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.

(2)(配凑法)∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，

∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．

(换元法)令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.

代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．

(3)在已知等式中，将x换成，得f＋2f(x)＝，

由消去f得f(x)＝－.

巩固训练2　解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.

故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.

(2)方法一　(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，

所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.

方法二　(配凑法)　因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.

(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②

∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.

答案：(1)f(x)＝x2－x＋1　(2)f(x)＝x2－4x＋3　(3)f(x)＝x2－2x

例3　解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.

(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；

当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；

当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．

综上，a＝2或a＝±.

巩固训练3　解析：(1)∵f(x)＝，

则令x＝3，得f(3)＝，

所以f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.

(2)根据题意得或，

解得x＝－3.

答案：(1)D　(2)B

例4　解析：设本季度他应交的水费为y元，当0≤x≤5时，y＝1.2x；

当5<x≤6时，应把x分成两部分：5与x－5分别计算，

第一部分收基本水费1.2×5元，

第二部分由基本水费与加价水费组成，

即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，

所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；

当6<x≤7时，同理可得y＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x－6)×(1＋400%)＝6x－26.4.

综上，可得y＝

巩固训练4　解析：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20].

由题意得函数的解析式如下：y＝

函数图象如图所示：