人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数导学案

这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数导学案，共13页。学案主要包含了知识梳理，经典例题，变式训练1，变式训练，变式训练3，变式训练4，课堂训练，课后练习等内容，欢迎下载使用。

一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：
1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；
2、基本步骤：审题→建模(建立二次函数模型) →解模(求解) →回答(用生活语言回答，即问什么答什么)。
二、利用二次函数解决实际问题的类型
1、用二次函数解决几类典型问题
解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：
（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
（2）问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
【经典例题】
类型一、最大面积问题
【例题1】如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积(㎡)与它与墙平行的边的长(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？
【变式训练1】1、如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积(㎡)与路宽(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？
2、（2018秋•滨江区期末）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
类型二、利润问题
【例题2】1、（2019•锦州）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
2、（2019•惠山区模拟）某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；
（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．
【变式训练】1、（2019•抚顺模拟）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：
已知y是x的一次函数．
（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？
（3）销售价定为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？
2、（2019•武汉）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
3、（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
类型三、实际抛物线问题
【例题3】1、某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。
2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：
(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
【变式训练3】1、如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
1、（2018秋•兴化市期末）有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线相应的函数表达式；
（2）水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为3米，宽为5米，该小船能从这座拱桥下通过吗？
【例题4】（2019春•雨花区校级月考）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端梯子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣x2+3x+1的一部分，如图所示
（1）求演员弹跳离地面的最大高度：
（2）已知人梯高BC＝3.4，在一次表演中，人梯到起跳点A到水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【变式训练4】（2019•市北区二模）如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；
（2）通过计算判断此球能否过网；
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．
【课堂训练】
1、（2019春•鼓楼区校级期末）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏．
（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
2、2019•宜兴市二模）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
3、（2019•金华模拟）如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示．
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）的函数表达式．
（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？
【课后练习】
1、（2019•荔湾区校级一模）某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费．已知甲师傅建造2m2的费用与乙师傅建造3m2的费用总和为440元，甲师傅建造3m2的费用与乙师傅建造2m2的费用总和为460元．
（1）分别求出甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用；
（2）若乙师傅计划用总长度为24米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图），已知墙的长为9米，则养鸡场的宽AB为多少时，建造费用最多？最多为多少元？
2、（2018秋•拱墅区期末）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
3、（2018秋•滨海县期末）某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．
4、（2019•南山区校级三模）某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）求出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过520万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
5、（2019•瑞安市三模）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
6、（2019•新华区一模）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m），行车道最宽可以铺设多少米？
7、（2019•崂山区二模）某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5m，宽度OP为6米，现以地面（OP所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示）
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？
（3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架“ABCD（由四根木杆AB﹣BC﹣CD﹣DA组成），使B，C两点在抛物线上．A，D两点在地面OP上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？
叙述
具体方法
代数问题
在日常生活、生产中，常遇到求什么情况下时间最少、费用最低、效率最高等，其中一些问题可归结为求二次函数的最大值（或最小值）
根据题意或几何图形特点求出二次函数表达式，再通过配方配成顶点式或利用顶点坐标公式求出二次函数的顶点坐标，其纵标即为函数的最大值或最小值
几何问题
何时面积最大、周长最长等几何问题，可借助二次函数求最大（小）
牢记
（1）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可化为y= a(x+)2+，
当x=-时，y有最大值或最小值，即y最大（小）值 = ；
（2）若顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内，就不能用抛物线的顶点坐标求出图形的最大值或最小值，应根据实际情况进行确定；
（3）求函数的最值时不要忽视了自变量的取值范围；
（4）关于营销方面的几个公式：①销售额=销售单价×销售量；②利润=销售额-成本=单件利润×销售量；③单件利润=销售单价-成本单价
巧记
实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；
抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。
x/元
…
15
20
25
…
y/件
…
25
20
15
…
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
（元）
19
20
21
30
（件）
62
60
58
40