第三讲  二次函数图像与性质

【知识梳理】

1、二次函数的相关概念及定义

二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2；⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二次函数各种形式之间的变换：（1）二次函数用配方法可化成：的形式，其中。（2）二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

2、二次函数图像及性质

4、抛物线中，与函数图像的关系

4、二次函数的平移规律

平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

平移规律：

         在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

5、待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y=ax+bx+c  (a≠0)。

（2）顶点式：y=a(x－h)+k  (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

（3）交点式：y=a(x－x)(x－x)  (a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

（1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

（2）若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

（3）若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

6、抛物线与x轴交点情况：

    对于抛物线

    ①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

    ②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

    ③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

【经典例题】

【例题1】1、有下列函数：①y＝（2x﹣1）2﹣4x2；②y＝2x2；③y＝（a≠0）；④y＝x2+2x+1．其中y是x的二次函数有　　　　　．（填序号）

2、（2018秋•宁河区期中）函数y＝（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1

【变式训练1】1、（2018•常德二模）有下列函数：①y＝1﹣x2；②y＝；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有　　　　（填序号）

2、（2019•广饶县模拟）若函数y＝（k﹣2）x是关于x的二次函数，则k＝　    　

【例题2】（2018秋•新罗区校级月考）二次函数y＝3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　   　　　　．

【变数训练2】（2017秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　    　　0（填写“＞”或“＜”或“＝”）

【例题3】将下列函数化为顶点式，并写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）；     （2）；     （3）

【变式训练3】10.（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）

1.（2019春•沙坪坝区校级期中）抛物线y＝2x2+4x+5的顶点坐标为（　　）

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，5） D．（﹣1，5）

【例题4】试写出抛物线经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位

【变式训练4】得到抛物线，可将抛物线（    ）

A．向上平移4个单位

B．向下平移4个单位

C．向右平移4个单位

D．向左平移4个单位

【例题5】1、（2019春•岳麓区校级期末）对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　）

A．开口向下 

B．对称轴是直线x＝﹣2 

C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 

D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1

2、（2019•新都区模拟）已知抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+1（a≠0），下列四个结论：①函数的图象的对称轴是x＝﹣1；②当a＝1时，图象经过点（﹣1，2）；③当a＞0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，其中正确结论共有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式训练5】1、（2019•大邑县模拟）关于二次函数y＝﹣3x2+6x+1，以下说法不正确的是（　　）

A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） 

B．图象的对称轴在y轴的右侧 

C．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 

D．y的最大值为4

2、（2019•遂宁）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）

A．a＝4                  B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8） 

C．当x＝﹣1时，b＞﹣5   D．当x＞3时，y随x的增大而增大

3、（2019•长春模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），当﹣2≤m≤1时，函数值y有最大值为4，则m的值为            

【例题6】1、已知二次函数的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，____0。

2、（2019•海州区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（　　）

A．B．C． D．

【变式训练6】1、（2019•海珠区校级模拟）如图，a＜0，b＞0，c＜0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A．B．C． D．

2、（2018秋•巴南区期中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a

3、（2019•花都区一模）已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A．B．C． D．

【例题7】（2019•攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）

A．B．C． D．

【变式训练7】（2019•南沙区一模）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（　　）

A．B．C． D．

【例题8】（2018秋•北碚区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法：①abc＞0；②b+2a＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＜﹣3，正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【变式训练8】1、（2019•汇川区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b＜0；其中正确的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2、（2019•滨州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，直线m是图象的对称轴，则下列各式的取值正确的是：a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0，2a+b＞0，a+b+c＞0（　　）

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

【例题9】1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式。

2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。

3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

【变式训练9】1、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。

2、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。

3、抛物线顶点坐标为（－1，9），并且与y轴交于（0，－8）

4、抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为（－2，0），与y轴交于点（0，12）

【例题10】1、（2018秋•嘉兴期末）下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（　　）

A．y＝﹣3x2﹣4x B．y＝x2﹣3x﹣4 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝2x2+4x+5

2、（2019•苏家屯区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法判断

【变式训练10】1、（2019•涪城区模拟）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m＞9 B．m≥9 C．m＜﹣9 D．m≤﹣9

2、（2019•潮阳区一模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【例题11】1、（2019•顺德区三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（0，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）

2、（2019春•大连期末）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（6，0），则这条抛物线的对称轴是　　　　　

【变式训练】（2019•江都区二模）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（　　）

A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝3

【课堂训练】

1、抛物线与x轴交点的坐标为_________；

2、函数有最___    _值，最值为_   ______；

3、二次函数的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为，则b与c分别等于___________________。

4、求二次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标分别为________________。

5、二次函数中，若，则它的图象必经过点（      ）

6、二次函数的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c这四个代数式中，值为正数的有（     ）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

7、二次函数与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（　　）

8、已知二次函数y=ax+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是(     )

A.有最小值﹣5、最大值0          B.有最小值﹣3、最大值6

C.有最小值0、最大值6            D.有最小值2、最大值6

9、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.

（1）       求二次函数的图象的解析式；

（2）       设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

【课后练习】

1.（2018秋•昭平县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）

A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+

2.（2018秋•官渡区期末）若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．9

3.（2019春•开福区校级期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x＝1，最大值是2   B．对称轴是直线x＝1，最小值是2 

C．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2   D．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2

4.（2019•蓝田县一模）开口向下的抛物线y＝（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2

5.（2019•长兴县一模）下列二次函数的图象的顶点在x轴上的是（　　）

A．y＝x2+1 B．y＝x2+2x C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2+2x﹣1

6.（2019•南充模拟）针对关于x的方程x2+mx﹣2＝0，下列说法错误的（　　）

A．可以有两个相等的实数根    B．有两个不相等的实数根 

C．一个根大于0，一个根小于0   D．m＝±1时才有整数根

7.（2019•东兰县三模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）

A．函数有最小值   B．当﹣1＜x＜2时，y＞0 

C．a+b+c＜0    D．当x＜，y随x的增大而减小

8.（2019•太原二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1．下列结论正确的是（　　）

A．abc＜0        B．b2＜4ac      C．a+b+c＞0     D．当y＜0时，﹣1＜x＜3

9.（2019•临河区一模）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）

A．B．C． D．

10.（2019•江北区一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），则线段AB的长为                

11.（2019•碑林区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a＞④0＜b＜1中正确的有（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

12.（2017年中考）如图23图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A(1,0),B(3,0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

13．（2018年中考）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于两点，直线过顶点和点．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式