2021-2022学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列不等式变形错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，菱形的周长是，，则对角线的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在下列各式中，能用平方差公式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是(    )

A. 两条对角线相等 B. 两条对角线互相垂直
C. 两条对角线互相垂直平分 D. 两条对角线相互平分且相等

6. 如图，电信部门要在公路旁修建一座移动信号发射塔按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，则发射塔应该建(    )

A. 处 B. 处 C. 处 D. 处

7. 下列各式中，不能约分的分式是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若以各边中点为顶点的三角形的周长是，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分式有意义的条件是______．
12. 若边形的内角和等于外角和的倍，则边数为______．
13. 如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为的正方形，两块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的矩形观察图形，发现多项式可因式分解为______．

14. 晓英准备用元买笔和记事本．已知每支笔元，每个记事本元，她买了个记事本之后，最多可以买______支笔．
15. 如图，在▱中，平分，交于点，，，则的长是______．

16. 如图，在正方形中，，点在边上，且，在边上取两点，点在点左侧，且始终保持，线段在边上平移，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 因式分解：．
18. 解不等式组，并写出它的正整数解．
19. 先化简，再求值：然后从的范围内选取一个适的整数作为的值代入求值．
20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
    平移到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出；
    以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；
    与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为______．

21. 如图，，点，为边，上的动点点，不与点重合，在的内部、的外部有一点，且，．
    求证：点在的平分线上．

22. 某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费元，另收元设计费；乙公司提出：每份材料收费元，不收设计费．
    设该单位要制作份宣传材料，选择甲公司时，所需的费用为元，选择乙公司时，所需的费用为元，请直接写出，关于的函数关系式；
    该单位在哪家公司制作宣传材料所需费用少？请说明理由．
23. 某商场计划购进，两种款式衬衫，其中每件款式衬衫的进价比款式衬衫高，用元分别采购两种款式衬衫，则款式衬衫的数量比款式衬衫少件．
    求，两种款式衬衫的进价；
    若该商场打算用不超过元的资金采购，两种款式衬衫共件，至少需要采购多少件款式衬衫？
24. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点，且与直线交于点沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为点，，的对应点分别为点，，，直线交直线于点设平移时间为秒．
    
    填空：点的坐标为______，的长为______．
    求当取哪些值时，直线位于直线上方；
    当时，连接，请直接写出四边形的面积．
    若，请直接写出此时平移时间的值．
25. 在矩形中，，，点，分别在，边上，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    若四边形是菱形，求菱形的边长；
    在的条件下，取的中点，点是直线的一个动点，且点与点不重合．
    当点在线段上时，若，请直接写出的面积；
    若时，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A不符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
，
，
选项C符合题意；
，
，
选项D不符合题意，
故选：．
根据不等式的性质进行运算辨别即可．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形的周长是，
，
，
是等边三角形，
．
对角线的长度为．
故选：．
由菱形的周长是，即可求得，又由，即可证得是等边三角形，则可求得对角线的长度．
此题考查了菱形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C、，无法分解因式，故此选项不合题意；
D、，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不能判定四边形是矩形；
D、两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故D选项能判定四边形是矩形；
故选：．
根据矩形的判定即可得到结论．
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是度的平行四边形是矩形，有三个角是度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：
根据作图可知：是线段的垂直平分线，
所以上的点到、的距离相等，
即发射塔应该建在处，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.无法约分，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断即可．
此题主要考查了约分，正确将分式的分子与分母分解因式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图示，点、、分别是、、的中点，
，，，
的周长，
的周长为．
故选：．
由三角形的中位线定理可知，以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．
本题考查三角形的中位线，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
故选：．
通过因式分解将转化为，再整体代入即可．
本题考查提公因式分解因式，将转化为是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在与中，
．
≌．
．
．
．
．
在中，

．
故选：．
通过证明≌，把四边形的面积转化成的面积，利用是等腰直角三角形求出的长，即的长．
本题考查了正方形的性质，通过三角形全等把四边形的面积转化成的面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查分式有意义，关键是根据分母不为进行解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，则依题意可得：
，
解得．
故答案为：
本题应先设这个多边形的边数为，则依题意可列出方程，从而解出，即这个多边形的边数为．
本题主要考查多边形的外角和定理和多边形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理即注意：任意多边形的外角和都是．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据图形得到长方形的面积为：，
也可以为，
则根据此图，多项式分解因式的组为，
故答案为：．
图形中大长方形的面积有两种求法，三个正方形的面积加上三个长方形的面积之和得到；也可以由长为，宽为的长方形面积得到，两者相等即可得到多项式分解因式的结果．
此题考查了因式分解的应用，弄清图形中的关系是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设可以买支笔，
根据题意得：，
解得，
为整数，
最大可取，
答：最多可买支笔．
故答案为：．
设可以买支笔，可得：，即可解得最多可买支笔．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
在中，，即，
，
，，
在中，．
故答案为：．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长．
此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接，过点作，过点作，
四边形是平行四边形，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，
过点作交延长线于点，
，，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，过点作，过点作，当、、三点共线时，有最小值，过点作交延长线于点，求出即为所求．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，直角三角形勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】原式可化为提取公因式得，，再应用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
不等式组的正整数解是，，． 

【解析】解每个不等式，求出不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．
本题考查不等式组的正整数解，解题的关键是求出不等式组的解集．
 

19.【答案】解：原式

，
，且为整数，
的值为：，，，，，
当，时无意义，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，进而结合分式有意义的条件代入相关数据即可．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

与关于点成中心对称．
故答案为．
利用点和点的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到得到、的坐标，然后描点即可；
根据关于原点对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
连接、，则、，都经过点，于是可判断点为对称中心．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

21.【答案】证明：如图，过点作于，于，

，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
点在的平分线上． 

【解析】由“”可证≌，可得，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，，
；
令，
解得，
当时，选择乙公司；
当时，选择两家一样；
当时，选择甲公司． 

【解析】根据甲、乙两个公司的收费方法分别列式即可；
求出两个公司收费相同时的材料份数，然后分情况讨论即可．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息和两家公司的收费标准是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
 

23.【答案】解：设款式衬衫的进价为元，则款式衬衫的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款式衬衫的进价为元，款式衬衫的进价为元．
设采购件款式衬衫，则采购件款式衬衫，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：至少需要采购件款式衬衫． 

【解析】设款式衬衫的进价为元，则款式衬衫的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进款式衬衫的数量比用元购进款式衬衫少件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出款式衬衫的进价，再将其代入中即可求出款式衬衫的进价；
设采购件款式衬衫，则采购件款式衬衫，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】   

【解析】解：令，则，
，
令，则，
，
，
故答案为：，；
直线：经过点，
，
，
，
联立方程组，
解得，
，
当时，直线位于直线上方；
，
，
，
，
沿轴正方向平移个单位长度，沿轴正方向平移个单位长度，
，，
，，
四边形是平行四边形，
；
平移时间为秒，
，，，，
，
，
，
解得或．
分别求、的坐标即可求解；
由待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，求出点坐标，再结合图象可得时，直线位于直线上方；
由题意可得沿轴正方向平移个单位长度，沿轴正方向平移个单位长度，则，，又由四边形是平行四边形，即可求解；
平移后，，，，则，，则，解得或．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，图形平移的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的边长是；
解：过点作于点，

则，
，
，
，
是的中点，
是的中位线，
是的中点，，
，
，
在的条件下，四边形是边长为的菱形，
，
，
是的中点，
，
，，
，
，
，
；
连接，过点作于，取的中点，作，交于点，

则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，是对角线，
，，
即，
，
，
≌，
，
，
的长为． 

【解析】根据等式的性质可知，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
设，则，由勾股定理列方程，从而解决问题；
过点作于点，利用三角形中位线定理知的长，再利用勾股定理求出，从而得出答案；连接，过点作于，由菱形的性质得，从而得出，进而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．