专题18.8 四边形中的折叠问题的四大题型-八年级数学下册举一反三系列（人教版）

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专题18.8 四边形中的折叠问题的四大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！【题型1 矩形中的折叠问题】1．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）综合与实践【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM．∠DPM=60°，则∠MBC的大小为 　 　度．【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．（1）判断△MBQ与△CBQ的关系并证明．（2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为 　 　．【答案】【操作感知】30；【迁移探究】（1）全等，见解析；（2）43【分析】操作感知：根据折叠求出∠ABP=∠MBP=30°，即可得出结论；迁移探究：（1）根据HL证Rt△MBQ≌Rt△CBQ即可；（2）设CQ的长为x，则DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2=BC2+CQ2−BM2 =x，利用勾股定理求出x的值即可．【详解】解：【操作感知】：由折叠知，∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90°，∵∠DPM=60°，∴∠APB=∠MPB=（180°−∠DPM）÷2=60°，∴∠ABP=∠MBP=30°，∴∠MBC=90°−∠ABP−∠MBP=30°，故答案为：30；【迁移探究】（1）判断：△MBQ≌△CBQ，理由如下：证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，∴AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90°在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，BQ=BQBM=BC，∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ（HL），即△MBQ≌△CBQ；（2）设CQ的长为x，∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，∴DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2=BC2+CQ2−BM2 =x，PM=AP= 12×4 =2，在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2，即2+x2=22+4−x2，解得x= 43，故答案为：43．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及正方形的判定及性质是解题的关键．2．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）已知长方形ABCD(对边平行且相等，四个角都是直角)中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．  (1)如图1，当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；(2)如图2，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长P B′交直线AD于点F．①证明FA=FP，并求出在1条件下AF的值；②连接B′C，求△PCB′周长的最小值．【答案】(1)见解析(2)①见解析，AF=132；②12【分析】（1）根据矩形的性质得AB∥CD，可得∠BAP=∠E，∠B=∠BCE，利用AAS即可得出结论；（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出∠FAP=∠APF，等角对等边即可得FA=FP，设FA=x，则FP=x，FB′=x−4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得x= 132，即AF= 132；②可得△PCB′的周长=CP+PB′+CB′=CB+CB′=8+CB′，当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10，则CB′的最小值=AC− AB′=4，即可得△PCB′周长的最小值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD，∴∠BAP=∠E，∠B=∠BCE，∵点P是BC的中点，∴BP=CP，∴△ABP≌△ECPAAS；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，∴∠APB=∠FAP，由折叠得∠APB=∠APF，∴∠FAP=∠APF，∴FA=FP，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∴BC=AD=8，∵点P是BC的中点，∴BP=CP=4，由折叠得AB′=AB=6，PB′=PB=4，∠B=∠AB′P=∠AB′F=90°，设FA=x，则FP=x，∴ FB′=x−4，在Rt△AB′F中，AF2=B′F2+B′A2，∴ x2=(x−4)2+62，解得x= 132，即AF= 132；②由折叠得AB′ =AB=6， PB′ =PB=4，∴△PC B′的周长=CP+P B′ +C B′ =CB+C B′ =8+C B′，  连接B′ C，AC，∵ AB′+ CB′ >AC，∴当点B′恰好位于对角线AC上时，C B′ +A B′最小，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，∴AC= AB2+BC2 =10，∴ CB′的最小值=AC−A B′ =4，∴△P CB′周长的最小值= 8+CB′ =8+4=12．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．3．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，将矩形纸片ABCDAD>AB折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC、AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC、AD相交于点E、F．  (1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论．(2)若CD=2，GD=16，求DF的长．【答案】(1)菱形，见解析(2)DF=638【分析】（1）根据翻转变换的性质得到FG=FC，EG=EC，∠GEF=∠FEC，根据平行线的性质得到∠GFE=∠FEC，得到GF=GE，得到GE=EC=CF=FG，根据菱形的判定定理证明；（2）根据折叠的性质得到GF=CF，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：结论：四边形CEGF是菱形． 理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF=∠FEC，FG=FC，EG=EC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∴GE=EC=CF=FG，∴四边形CEGF为菱形；（2）解：设DF=x，∵GD=16，∴GF=16−x，∴CF=16−x，在Rt△CDF中，CD2+DF2=CF2，∴x2+22=16−x2，解得：x=638．∴DF=638．【点睛】本题考查的是菱形的判定、勾股定理的运用，掌握四条边相等的四边形是菱形、翻转变换的性质是解题的关键．4．（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．  问题解决：（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC，AN，AC，线段AC交MN于点O，则：①△CDM与△AD1M的关系为 ，线段AC与线段MN的关系为 ，小强量得∠MNC=50°，则∠DAN= ．②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明．拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片ABCD中，BC=2AB=6cm，BM=4cm，小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N，请你直接写出线段ND的长： ．综合探究：（3）如图3，ABCD是一张矩形纸片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M（不与A和B点重合），在边CD上取一点N（不与C和D点重合），将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP，请你确定△MNP面积的取值范围 ．【答案】（1）①△CDM≌△AD1M，线段AC与线段MN互相垂直平分，80°；②证明见解析；（2）238；（3）0.5