专题11 导数与函数的极值、最值（讲义+练习）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第11练  导数与函数的极值、最值

学校____________          姓名____________          班级____________

一、单选题

1．函数在上的极大值点为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【详解】

函数的导数为，令得，

又因为，所以，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以使得函数取得极大值的的值为.

故选：C.

2．函数有（       ）

A．极大值点3 B．极小值点3

C．极大值点1 D．极小值点1

【答案】A

【详解】

∵，

∴，

当时,单调递增；当时,单调递减.

∴在处取得极大值，即只有一个极值点，且是极大值点，

故选：.

3．设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可知，不等式在上恒成立，

则对上恒成立，

设，，

则，令，解得，

所以当，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，取极大值，即为最大值，最大值为，

所以，，

所以的取值范围为

故选：B

4．已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】

解：，

，

，

，

，

，

令，则或，

当或时，，即函数在和上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，

故函数在区间上的最大值为，

故选：A．

5．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由函数，可得，

且在区间上存在最小值，

即在区间上存在，

使得且，，

设，即满足，且，

可得，解得，

即实数的取值范围是.

故选：D.

6．设 ，若为函数的极小值点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，

必有 ，即 ，

若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，

必有，即；

故选：C.

7．已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

令，

则，令，，

∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，

∵，

∴当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

∴，

∴≥恒成立，则．

故选：C．

8．函数满足：对，都有，则函数的最小值为（       ）

A．-20 B．-16 C．-15 D．0

【答案】B

【详解】

解：因为函数满足：对，都有，

所以，即，

解得，

所以，

则，

，

，

当或时，，

当时，，

所以的最小值为，

故选：B

二、多选题

9．已知函数，下列结论中正确的是（       ）

A．函数在时，取得极小值-1；

B．对于，恒成立；

C．若，则；

D．若对于恒成立，则a的最大值为．

【答案】BCD

【详解】

因为，所以，

所以，所以不是函数的极值点，故A错；

若，则，

所以函数在区间上单调递减；

因此，故B正确；

令，则，

因为在上恒成立，

所以在上恒成立，

因此函数在上单调递减；

又，所以，

即，所以，故C正确；

因为函数在上单调递减；

所以时，函数也单调递减，

因此在上恒成立；

在上恒成立，即a的最大值为，故D正确.

故选：BCD.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．时，取得最大值 D．时，取得最小值

【答案】AB

【详解】

由图象可知：当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减；

对于A，，，A正确；

对于B，，，B正确；

对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；

对于D，由单调性知，D错误.

故选：AB.

11．已知函数，则（       ）

A．在上单调递增

B．是的极大值点

C．有三个零点

D．在上最大值是

【答案】BCD

【详解】

解：因为

所以，

令，解得或，

与随的变化情况如下表：

因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；

是的极大值点，故正确；

因为，，，，

由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；

当的定义域为时，

在，上单调递减，在，上单调递增，

又， ，

所以在，上的最大值是4，故正确．

故选：．

12．已知函数有两个极值点和，且，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】

已知，则，

令，则

考虑函数，则，

当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增；

故的图象大致如图：

依题意，若有两个极值点，则，即，因此选项D正确；

由图易知，，，故选项A正确；

又，故，因为，

所以，故选项C正确；

因为，即，

故，即.

由于，，所以，从而，故选项B错误.

故答案为：ACD.

三、解答题

13．已知函数．

（1）求的图象在点处的切线方程；

（2）求在上的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）最大值与最小值分别为与．

【解析】（1）因为，所以

所以．

所以的图象在点处的切线方程为，即．

（2）由（1）知

令，则；令，则．

所以在上单调递减，在上单调递增．所以

又，所以．

所以在上的最大值与最小值分别为与．

14．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．

【答案】(1)；

(2)的单调递增区间为，，单调递减区间为；最大值为，最小值为.

【解析】(1)

当时，定义域为，，

，，故在点处的切线方程为：，即；

(2)

由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，

，令时，，，令得：或

，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为.

15．已知函数，其中．

(1)求的最小值；

(2)证明：．

【解析】(1)

, 令，解得，

由为增函数知，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，

所以的最小值为.

(2)

令，则，由时，，时，，

可知在上递减，在上递增，所以当时，取最小值.

故，即对.

故，故

而对，，

故原式得证.

16．已知函数，．

(1)当时，若为的极大值点，求a的取值范围；

(2)证明：当时，．

【解析】(1)

∵，

∴，

由，可得或，

当时，，函数在R上单调递增，函数无极值，故不符合题意，

当时，，单调递增，，单调递减，

所以为的极大值点；

综上，的取值范围为；

(2)

由上可知，，

由，可得，

当时，，函数在上单调递增，

∴，

当时，，单调递减，，单调递增，

∴，

综上，当时，．