专题09 导数的概念及运算（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第9讲  导数的概念及运算

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一、知识梳理

1.导数的概念

(1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)

在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝.

(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.

2.导数的几何意义

f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).

3.基本初等函数的导数公式

(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；

(3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(logax)′＝；

(5)(sin x)′＝cos x；(6)(cos x)′＝－sin x；

(7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝.

4.导数的运算法则

如果f(x)，g(x)都可导，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0)；

(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).

5.复合函数的导数

如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为

h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.

二、考点和典型例题

1、导数的概念及几何意义

【典例1-1】（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．

【典例1-2】（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A． B．

C． D．且

【典例1-4】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【典例1-5】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2、导数的运算

【典例2-1】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的导函数为，且满足，则（       ）

A．1 B． C．-1 D．

【典例2-2】（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为(       )

A．0 B．1 C．2 D．

【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【典例2-4】（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．

【典例2-5】（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.

3、导数运算的综合

【典例3-1】（2020·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知，且，则实数a的值为(      )

A． B． C． D．

【典例3-2】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ）

A．－4 B．－1 C．1 D．4

【典例3-3】（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【典例3-4】（2022·江西南昌·二模（理））已知函数f，若函数的图象上存在两个点，，满足，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【典例3-5】（2022·山西太原·一模（理））已知实数，满足，，则（       ）

A．112 B．28 C．7 D．4