专题10 导数与函数的单调性（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第10讲  导数与函数的单调性

学校____________          姓名____________          班级____________

一、知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导函数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.

二、考点和典型例题

1、不含参函数的单调性

【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为，所以，所以在上单调递减，

则等价于，解得，即原不等式的解集为.

故选：B.

2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵，∴，

当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．

故选：D．

3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

设函数，

所以，因为，

所以，即，所以在上单调递减，因为，

所以，因为，整理得，

所以，因为在上单调递减，所以.

故选：C.

4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数

(1)当时，讨论的单调区间；

(2)当时，若有两个零点，且，求证：.

【解析】(1)

当时，

所以，当时，在上增，在上减；

当时，在上减，在上增.

(2)

方法一：参数分离

有两个不同的零点

令，则

令得

当时，，所以：在递增；

当时，，所以：在递减.显然时，.

作出的图象如下：

所以：∴，

所以：，所以，；

下面证明：.要证：，因为

所以：

由（1）得.所以，原不等式得证.

综上所述：.

方法二：部分参数分离

零点.

从而为的图像与交点的横坐标.对给定的a，令使得，即，

得，存在且唯一，此时的图像与有唯一交点.

又，由（1）得，当时，，所以，

（这里要说明）又因为成立.

5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)增区间为，减区间为(2)

【解析】(1)

当时，，

当时，，当时；

故的单调递增区间为，递减区间为.

(2)由题意知在有两个不等实根，

，

令，，

所以在上单调递增，在上单调递减；

又，，，，，，

作出的图象如图所示：

由图可知，解得且，

即a的取值范围为.

2、含参函数的单调性

【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

若时，当时，；当时，；

则在上单调递减；在上单调递增.

所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.

当时，由可得或；由可得

所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，取得极大值，满足条件.

当时，由可得或；由可得

所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，取得极小值，不满足条件.

当时，在上恒成立，即在上单调递增.

此时无极值.

综上所述：满足条件

故选：A

2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：由已知可得即为，

设，，

则，

当时，显然，当时，在上也成立，

所以时，在上单调递减，恒成立；

当时，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，

综上所述，.

故选：A.

3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知，则下列说法正确的是（       ）

A．当时，有极大值点和极小值点 B．当时，无极大值点和极小值点

C．当时，有最大值 D．当时，的最小值小于或等于0

【答案】D

【详解】

由题设，且，

当时，则在上递增，无极值点和最大值，A、C错误；

当时，若则，递减；则，递增；

所以，即无极大值点，有极小值点，B错误；

令且，则，

当时，递增；当时，递减；

所以，即的最小值小于或等于0，D正确；

故选：D

4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知，则（       ）

A．当，，时，

B．当，，时，

C．当，，时，

D．当，，时，

【答案】AC

【详解】

设，

因为，

所以，当，时，

，即.

易知，

当时，，所以在上单调递减，

所以，故选项A正确，选项B错误.

当，时，，即.

当时，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故选项C正确，选项D错误.

故选：AC.

5．（2022·广东佛山·三模）已知函数，其中，．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线．

【解析】(1)

解：因为定义域为，

所以，

①当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增，没有减区间；

②当时，令时，，

且，

令得，所以的增区间为．

令得，所以的减区间为

(2)

解：当时，是的零点，所以

即

由得，由得．

所以过点作曲线的切线的方程为

（*）

假设曲线在点的切线与斜率相等，

所以，所以，即

把代入（*）式得

所以点在切线上．

所以直线也是曲线的切线

3、根据函数的单调性求参数

【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，即，

令，由题意得在上单调递减，

故，即在上恒成立，则，

故选：C

2．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

函数在区间 内有意义，

 则，

设则 ，

( 1 ) 当 时， 是增函数，

要使函数在区间内单调递增，

需使 在区间内内单调递增，

则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；

因为时，所以与矛盾，此时不成立.

 ( 2 ) 当时，是减函数，

要使函数在区间内单调递增，

需使在区间内内单调递减，

则需使 对任意恒成立，

即对任意恒成立，

因为，

所以，

又，所以.

综上，的取值范围是

故选：B

3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

若函数是上的单调函数，只需在上恒成立，

即，

∴．故的取值范围为．

故选：B.

4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为导函数的图象为直线，且，

所以函数为过原点的二次函数，

设，

所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，

则，

又由，得，

则，

，

所以，，

所以，

故选：C

5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数

(1)求函数的极值；

(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】(1)

函数定义域为R，求导得，当时，，当时，，

因此，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数有极大值1，无极小值.

(2)令，即，

则，

依题意，两个不等的实数满足，且不等式恒成立，

不妨令，由(1)知，在上递增，在上递减，且当时，恒成立，而，

因此有，由知，，，则有，而在上递减，

从而有，即，两边取对数得：，

即，，令，，

，

当时，，则在上单调递增，，符合题意，

当时，即，当时，，在上单调递减，

当时，，不符合题意，

综上得：，

所以实数的取值范围是.

4、函数单调性的应用

【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意知方程有两个不同的实数根，

令，作出的图象如图所示，

数形结合可知直线与函数的图象在上有两个不同的交点．

当直线与函数的图象相切时，设切点为，

则，，则①，

当时，，则②，

由①②可得，，

∴，得，

故选：A．

2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

依题意，．令，故．

令，则，

故在上单调递增，且，，

所以存在，使得，即，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，故．

由，得，即，即，故．因为函数在上单调递增，所以，，故，解得.

故选:A．

3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，

因为，所以函数在R上单调递增.

因为有解，即有解，

所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.

解法一：令，则.

①当时，，函数在R上单调递增，，符合题意；

②当时，，不符合题意；

③当时，令，得；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

因此，，

解得.综上，实数的取值范围为.

解法二:若，则有解. 令，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，即.

若，则有解，易知恒小于零，

所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.

解法三：若，如图，在同一平面直角坐标系内作出与的图象，

当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，

由有解，得函数的部分图象在直线的下方，

所以，数形结合可知.

若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.

若，由函数的单调性可知，不符合题意.

综上，实数的取值范围为.

故选：D

4．（2022·山东威海·三模）已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．

①；

②．

【解析】(1)

，

当时，，

令，解得；令，解得或，

所以的单增区间为；单减区间为，．

(2)证明①：由题意知，是的两根，则，

，

将代入得，，

要证明，

只需证明，

即，

因为，所以，

只需证明，

令，则，只需证明，即，

令，

，

所以在上单调递减，可得，

所以，

综上可知，．

证明②：

设，

因为有两个极值点，所以，

解得，

因为，

所以，

，

由题意可知，

可得代入得，，

令，

，

当，所以在上单调递减，

当，所以在上单调速增，

因为，所以，

由，

可得，所以，

所以，

所以，即．

5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性，并求函数的极值；

(2)证明：对任意，都有．

【解析】(1)

因为，所以，

由得或，由得，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

因此，．

(2)要证对任意，都有，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立.

构造函数，.

因为在上恒成立，所以在上是增函数，故，

即，当且仅当时等号成立，

因为，所以，

所以只需证对任意恒成立，

即证对任意恒成立．

令，，

则，

因此在上是增函数，所以当时，

．

所以当时，恒成立．

故对任意，都有．