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    高考数学一轮复习 专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值(讲)
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    高考数学一轮复习 专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值(讲)

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    这是一份高考数学一轮复习 专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值(讲),文件包含专题43应用导数研究函数的极值最值讲教师版docx、专题43应用导数研究函数的极值最值讲学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。

    高考数学一轮复习策略

    1揣摩例题。

    课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。

    2精练习题

    复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。

    3加强审题的规范性

    每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。

    4重视错题

    “错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。

     

    专题4.3   应用导数研究函数的极值、最值

    新课程考试要求

    了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题.

    核心素养

    本节涉及所有的数学核心素养:逻辑推理(多例)、数学建模、直观想象(例2)、数学运算(多例)、数据分析等.

    考向预测

    1)以研究函数的单调性、单调区间等问题为主,根据函数的单调性确定参数的值或范围,与不等式、函数与方程、函数的图象相结合;

    2)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现;大题常与不等式、方程等结合考查,综合性较强.其中研究函数的极值、最值,都绕不开研究函数的单调性.

    3)以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势.

    4)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现;

    5)适度关注生活中的优化问题.

    【知识清单】

    1函数的极值

     (1)函数的极小值:

    函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小,f′(a)0,而且在点xa附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值.

    (2)函数的极大值:

    函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大,f′(b)0,而且在点xb附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点b叫做函数yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值.

    极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

    2函数的最值

    (1)在闭区间[ab]上连续的函数f(x)[ab]上必有最大值与最小值.

    (2)若函数f(x)[ab]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)[ab]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

    考点分类剖析

    考点一 函数极值的辨析

    【典例12021·河北沧州市·高三三模)已知函数,则(   

    A的单调递减区间为 B的极小值点为1

    C的极大值为 D的最小值为

    【典例22020·江苏高二期末)已知函数的导函数的图象如图所示,下列结论中正确的是(   

    A是函数的极小值点

    B是函数的极小值点

    C函数在区间上单调递增

    D函数处切线的斜率小于零

    【总结提升】

    1.函数极值的辨析问题,特别是有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极()值点,如果给的是f ′(x)的图象,应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.

    2.f(x)xx0处有极值时,一定有f (x0)0f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)xx0两侧的符号后才可下结论;若f (x0)0,则f(x)未必在xx0处取得极值,只有确认x1<x0<x2时,f(x1f(x2)<0,才可确定f(x)xx0处取得极值.

    【变式探究】

    1. 2020·山东高二期中)【多选题】已知函数,则(   

    A时,的图象位于轴下方

    B有且仅有一个极值点

    C有且仅有两个极值点

    D在区间上有最大值

    2.(重庆高考真题)设函数f(x)R上可导,其导函数为f ′(x),且函数y(1x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )

    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

    D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

    易错提醒

    (1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;

    (2)若f(x)在(ab)内有极值,那么f(x)在(ab)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.

    考点二:已知函数求极值点的个数

    【典例3】2021·山东日照市·高三月考)已知函数

    1)若讨论的单调性;

    2)当时,讨论函数的极值点个数.

    【易错提醒】

    极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.

    【变式探究】

    (2019·河南高考模拟(文))已知函数.

    (1)若,求曲线在点处的切线方程;

    (2)求函数的极值点个数.

    考点已知函数求极值(点)

    【典例42021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟(文))函数的极值点是___________.

    【典例52020·河北高三其他模拟(文))已知函数.

    1)当时,证明:

    2)当时,函数是否存在极大值,若存在,求出极大值;若不存在,请说明理由.

    规律方法

    (1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.

    (2)若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.

    【变式探究】

    1. 2021·四川凉山彝族自治州·高三三模(文))若是函数的极值点,则   

    A B

    C D

    2.2020·山东潍坊中学高二月考)已知的极小值点,那么函数的极大值为______.

    考点已知极值(点),求参数的值或取值范围

    【典例62021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟(文))已知函数处有极值10,则   

    A B0 C0 D6

    【典例7】(2018·北京高考真题(文))设函数.

    (Ⅰ)若曲线在点处的切线斜率为0,求a

    (Ⅱ)若处取得极小值,求a的取值范围.

    【规律方法】

    由函数极值(个数)求参数的值或范围.

    讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.

    【变式探究】

    1.2021·四川成都市·石室中学高三一模(文))在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的取值范围是(   

    A B C D

    2.2020·石嘴山市第三中学高二期末(理))设函数处取得极值为0,则__________

    【特别提醒】已知函数极值(个数),确定函数解析式中的参数时,注意以下两点:

    (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

    (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.

    考点利用导数求函数的最值

    【典例82021·北京高考真题)已知函数

    1)若,求处切线方程;

    2)若函数处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.

    【规律方法】

    求函数最值的四个步骤:第一步求函数的定义域;第二步求f′(x),解方程f′(x)0;第三步列出关于xf(x)f′(x)的变化表;第四步求极值、端点值,比较大小,确定最值.

    特别警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.

    【典例9(2019·全国高考真题(文))已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围.

    【易错提醒】

    求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.

    【变式探究】

    1.2020·浙江宁波诺丁汉附中高二期中)已知函数的最小值为________,最大值为_______.

    2.(2019·新疆高考模拟(文))已知函数(其中e是自然对数的底数).

    时,求的最小值;

    时,求上的最小值.

    考点根据函数的最值求参数的值(范围)

    【典例102021·全国高三二模)已知直线与曲线相切,当取得最大值时,的值为_______________________

    【典例112021·重庆高三其他模拟)已知函数.

    1)求的单调性;

    2)若,且的最小值小于,求的取值范围.

    【易错提醒】

    1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故含参数时,需注意是否分类讨论.

    2.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.

    【变式探究】

    1.(2021·四川高三月考(文))设函数,已知,若的最小值为,则的值为(   

    A B C D2

    2.(2019·北京高考模拟(文))设函数,则的最小值为__________; 若有最小值,则实数的取值范围是_______.

     

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