高考数学一轮复习 专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值(讲)
展开高考数学一轮复习策略
1、揣摩例题。
课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值
新课程考试要求 | 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题. |
核心素养 | 本节涉及所有的数学核心素养:逻辑推理(多例)、数学建模、直观想象(例2)、数学运算(多例)、数据分析等. |
考向预测 | (1)以研究函数的单调性、单调区间等问题为主,根据函数的单调性确定参数的值或范围,与不等式、函数与方程、函数的图象相结合; (2)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现;大题常与不等式、方程等结合考查,综合性较强.其中研究函数的极值、最值,都绕不开研究函数的单调性. (3)以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势. (4)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现; (5)适度关注生活中的优化问题. |
【知识清单】
1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
【考点分类剖析】
考点一 :函数极值的辨析
【典例1】(2021·河北沧州市·高三三模)已知函数,则( )
A.的单调递减区间为 B.的极小值点为1
C.的极大值为 D.的最小值为
【典例2】(2020·江苏高二期末)已知函数的导函数的图象如图所示,下列结论中正确的是( )
A.是函数的极小值点
B.是函数的极小值点
C.函数在区间上单调递增
D.函数在处切线的斜率小于零
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题,特别是有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f ′(x)的图象,应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.
2.f(x)在x=x0处有极值时,一定有f ′(x0)=0,f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)在x=x0两侧的符号后才可下结论;若f ′(x0)=0,则f(x)未必在x=x0处取得极值,只有确认x1<x0<x2时,f(x1)·f(x2)<0,才可确定f(x)在x=x0处取得极值.
【变式探究】
1. (2020·山东高二期中)【多选题】已知函数,则( )
A.时,的图象位于轴下方
B.有且仅有一个极值点
C.有且仅有两个极值点
D.在区间上有最大值
2.(重庆高考真题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f ′(x),且函数y=(1-x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【易错提醒】
(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
考点二:已知函数求极值点的个数
【典例3】(2021·山东日照市·高三月考)已知函数.
(1)若讨论的单调性;
(2)当时,讨论函数的极值点个数.
【易错提醒】
极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
【变式探究】
(2019·河南高考模拟(文))已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值点个数.
考点三:已知函数求极值(点)
【典例4】(2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟(文))函数的极值点是___________.
【典例5】(2020·河北高三其他模拟(文))已知函数,.
(1)当时,证明:;
(2)当时,函数是否存在极大值,若存在,求出极大值;若不存在,请说明理由.
【规律方法】
(1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
【变式探究】
1. (2021·四川凉山彝族自治州·高三三模(文))若是函数的极值点,则( )
A. B.
C. D.
2.(2020·山东潍坊中学高二月考)已知是的极小值点,那么函数的极大值为______.
考点四:已知极值(点),求参数的值或取值范围
【典例6】(2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟(文))已知函数在处有极值10,则( )
A. B.0 C.或0 D.或6
【典例7】(2018·北京高考真题(文))设函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线斜率为0,求a;
(Ⅱ)若在处取得极小值,求a的取值范围.
【规律方法】
由函数极值(个数)求参数的值或范围.
讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
【变式探究】
1.(2021·四川成都市·石室中学高三一模(文))在中,,,分别为,,所对的边,若函数有极值点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2020·石嘴山市第三中学高二期末(理))设函数在处取得极值为0,则__________.
【特别提醒】已知函数极值(个数),确定函数解析式中的参数时,注意以下两点:
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
考点五:利用导数求函数的最值
【典例8】(2021·北京高考真题)已知函数.
(1)若,求在处切线方程;
(2)若函数在处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.
【规律方法】
求函数最值的四个步骤:第一步求函数的定义域;第二步求f′(x),解方程f′(x)=0;第三步列出关于x,f(x),f′(x)的变化表;第四步求极值、端点值,比较大小,确定最值.
特别警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
【典例9】(2019·全国高考真题(文))已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围.
【易错提醒】
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
【变式探究】
1.(2020·浙江宁波诺丁汉附中高二期中)已知函数则的最小值为________,最大值为_______.
2.(2019·新疆高考模拟(文))已知函数(其中e是自然对数的底数).
Ⅰ当时,求的最小值;
Ⅱ当时,求在上的最小值.
考点六:根据函数的最值求参数的值(范围)
【典例10】(2021·全国高三二模)已知直线与曲线相切,当取得最大值时,的值为_______________________.
【典例11】(2021·重庆高三其他模拟)已知函数,.
(1)求的单调性;
(2)若,且的最小值小于,求的取值范围.
【易错提醒】
1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故含参数时,需注意是否分类讨论.
2.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.
【变式探究】
1.(2021·四川高三月考(文))设函数,已知且,若的最小值为,则的值为( )
A. B. C.或 D.2
2.(2019·北京高考模拟(文))设函数 若,则的最小值为__________; 若有最小值,则实数的取值范围是_______.
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