2021-2022学年福建省三明市尤溪县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省三明市尤溪县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 计算：的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是

A. 太阳光强弱 B. 水的温度 C. 所晒时间 D. 热水器

3. 新型冠状病毒是依靠飞沫和直接接触传播，所以我们要带好口罩做好防护，其中飞沫的直径大约为米，数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如果的乘积中不含一次项，则为

A.  B.  C.  D.

8. 下列图形中，由，能得到的是

A.  B.
C.  D.

9. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的

A.
B.
C.
D.
 

10. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. ______．
12. 如图是一把剪刀，若，则______度．
    
     

13. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______．
14. 计算：______．
15. 若，，则______．
16. 观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    利用乘法公式计算：；
    ；
    ．
18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 已知，点是边上一点．
    利用尺规在的右侧以点为顶点作，使；
    不写作法，保留作图痕迹
    写出射线与的位置关系．
     

20. 已知：如图，，，试说明成立的理由．
    下面是欢欢同学进行的推理，请你将欢欢同学的推理过程补充完整．
    解：已知，
    ______两直线平行，内错角相等，
    又______，
    ____________等量代换，
    ______，
    ______．
21. 王波学习小组在一次实验中，把弹簧挂上物体后，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量间有如下数据．

当悬挂物体的重量为千克时，弹簧长度是多少？
随着自变量的增加，因变量如何变化？
写出弹簧长度与所挂物体质量之间的关系式．
求挂物体时弹簧长度．

22. 如图，已知，，
    试说明；
    若，求的度数．
    
     

23. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
    根据图中提供的信息回答下列问题：
    小明家到学校的路程是多少米？小明在书店停留了多少分钟？
    本次上学途中，小明一共行驶了多少米？
    我们认为骑单车的速度超过米分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
    小明出发多长时间离家米？

24. 如图，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图．
    观察图，请你写出、、之间的等量关系；
    根据中的结论，若，，求的值；
    拓展应用：若，求的值．

25. 如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点．
    若点，，都在点的右侧，求的度数；
    在的条件下，若，求的度数；
    在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．
故选：．
函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个或另几个会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
本题主要考查常量与变量的知识，解题的关键是对函数的定义以及对自变量和因变量的认识和理解，难度不大．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法的运算法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、、、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
，两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选D．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，，
．
故选：．
由与平行，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再利用平角定义及为直角，即可确定出所求角的度数．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了多项式乘多项式，当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为 首先利用多项式乘以多项的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含 的一次项，使含 的一次项的系数之和等于 即可．
【解答】

解： ，
又 乘积中不含 一次项，
，
解得 ．
故选 B ．
 

8.【答案】

【解析】解：、，，不符合题意；
B、，，符合题意；
C、，得不出，不符合题意；
D、，得不出，不符合题意；
故选：．
在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．
本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．
 

9.【答案】

【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于，则可以判断、一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化．
故选：．
根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象．
本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是，即，





，
故选：．
设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．
本题考查了积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，，
，
又，
，
故答案为：．
根据对顶角相等和互为补角，即可求出结果．
考查对顶角、互为补角的意义，掌握对顶角相等和邻补角的意义是正确解答的前提．
 

13.【答案】

【解析】解：关于的二次三项式是完全平方式，
，
解得：．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
利用整式的除法的法则进行求解即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是对整式的除法的法则的掌握．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】

解： ， ，
．
故答案为 ．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，

，
，
由平行线的性质可得出：，，，，
．
故答案为：．
分别过、、作直线的平行线，，，由平行线的性质可得出：，，，，根据规律得到．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式；
原式


；
原式

；
原式

．

【解析】利用单项式乘多项式法则计算即可；
原式变形为，再利用完全平方公式计算即可；
先计算乘方，再利用多项式除以单项式法则计算即可；
先利用单项式乘多项式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】解：

，
当，时，原式


．

【解析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；

结论：．
理由：，
同位角相等，两直线平行．

【解析】根据要求作出图形即可；
利用平行线的判定方法判断即可．
本题考查作图基本作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

20.【答案】  已知      内错角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等

【解析】解： 已知，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
 内错角相等，两直线平行，
 两直线平行，同位角相等．
故答案为：；已知；，；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的判定与性质进行推论即可．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并准确运用．
 

21.【答案】解：根据题意可得，
当悬挂物体的重量为千克时，弹簧长度是；
随着自变量的增加，因变量随的增加而增加；
设弹簧长度与所挂物体质量之间的关系式为，
把，，，，代入上式，
得，
解得，
弹簧长度与所挂物体质量之间的关系式为；
把代入，
．
挂物体时弹簧长度为．

【解析】根据题意有表格可知，当悬挂物体的重量为千克时，即可得出答案；
根据题意，观察表格数据即可得出答案；
设弹簧长度与所挂物体质量之间的关系式为，把，，，，代入上式，即可得到，即可算出，的值，即可得出答案；
把代入中所得到的关系式即可得出答案．
本题主要考查了函数的表示方法，变量与常量，函数关系式，熟练掌握函数的表示方法，变量与常量，函数关系式的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：，
两直线平行，同位角相等，
，
，
内错角相等，两直线平行，
；
，
，
，
．

【解析】先根据两直线平行，同位角相等求出，从而求出，然后根据内错角相等，两直线平行求出，再根据两直线平行，内错角相等即可得解；
根据平行线的性质求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，根据图形准确找出两直线平行的条件是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据图象可知，小明家到学校的路程是米，
分钟，
故小明在书店停留了分钟；
米，
故本次上学途中，小明一共行驶了米；
根据图象可知，从分钟至分钟小明的骑车速度最快，
米分钟，
，
小明的骑车速度超过了安全限度．
设小明出发分钟时，小明离家米，
根据图象可知，；
根据题意，得，
解得，
小明出发分钟或分钟时，小明离家米．

【解析】根据图象即可求得；
根据图象可知；
根据图象可知，从分钟至分钟小明的骑车速度最快，根据“路程时间速度”即可判断；
设小明出发分钟时，小明离家米，根据图象以及列方程即可求解．
本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义并求出速度是解题的关键．
 

24.【答案】解：；

，，




；

，，
，
解得：，
．

【解析】根据图形得出答案即可；
根据得出，再代入求出答案即可；
根据完全平方公式得出，再代入求出的值，再求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
，平分，
；

，
，，
，
又，
，，
平分，
，，
，
，
；
设，，则，
当点、在点的右侧时，

则，
，
，
解得，
；
当点、在点的左侧时，

则，
，，
，
解得，
，
，
．
综上所述：在点的运动过程中，存在，度数为或．

【解析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数；
依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据，即可得出；
设，，则，分两种情况讨论：当点、在点的右侧时，当点、在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．